Um grupo de 12 atletas teve seus tempos de corrida em um circuito (em segundos) medidos: 11,12,15,14,16,13,12,14,15,16,12,11. Qual o tempo médio de corrida dos atletas? qual é o desvio padrão dos tempos registrados, indicando a variação no desempenho dos atletas?

Passo 1

O enunciado dá os tempos (em segundos) de 12 atletas: 11,12,15,14,16,13,12,14,15,16,12,11.
As perguntas são: (1) qual o tempo médio de corrida dos atletas? e (2) qual o desvio padrão dos tempos registrados, para indicar a variação no desempenho?
Informações relevantes que temos: a lista completa dos n=12 tempos (ou seja, estamos descrevendo esse conjunto de dados de tamanho 12).

Passo 2

O que é a média aritmética e como calculá-la?
A média aritmética \bar{x} de um conjunto de n valores x_1,x_2,\dots,x_n é a soma desses valores dividida por n. Em fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui \bar{x} é o símbolo que usamos para a média, x_i são os tempos individuais e n é o número de atletas (aqui n=12). A ideia intuitiva: soma tudo e divide pelo número de observações.

Passo 3

Calculemos a soma dos tempos. Vou agrupar valores iguais para facilitar:
  • Há dois 11: 2\cdot 11 = 22.
  • Há três 12: 3\cdot 12 = 36.
  • Há um 13: 1\cdot 13 = 13.
  • Há dois 14: 2\cdot 14 = 28.
  • Há dois 15: 2\cdot 15 = 30.
  • Há dois 16: 2\cdot 16 = 32.
Somando esses blocos: 22+36+13+28+30+32 = 161. Logo
\sum_{i=1}^{12} x_i = 161.

Passo 4

Aplicando a fórmula da média:
\bar{x}=\frac{1}{12}\cdot 161 = \frac{161}{12}.
Transformando em decimal (para interpretar melhor): \frac{161}{12} é 13 inteiro e resto 5, então decimal periódico de 5/12 0,416\overline{6}. Portanto
\bar{x}=\frac{161}{12}\approx 13,416\overline{6}\\ \text{segundos}.
Isto responde a primeira pergunta (tempo médio). Respira, já chegamos até aqui — ótimo!

Passo 5

Agora vamos ao desvio padrão. Primeiro, explicação didática: o desvio padrão mede, em média, quão dispersos estão os valores em relação à média. Quanto maior o desvio padrão, maior a variação entre os atletas. Existem duas definições comuns:
  • Desvio padrão populacional \sigma, usado quando os dados representam toda a população de interesse (fórmula com divisor n).
  • Desvio padrão amostral s, usado quando os dados são uma amostra de uma população maior (fórmula com divisor n-1).
Como o enunciado forneceu os tempos desse grupo de 12 atletas (ou seja, estamos descrevendo exatamente esse conjunto), o mais natural é usar o desvio padrão populacional. Vou calcular ele, e no final explico rapidinho a diferença numérica se alguém pedisse o desvio amostral.
A fórmula que usaremos (forma prática) para a variância populacional \sigma^2 é:
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - \mu^2,
onde \mu é a média (aqui \mu=\bar{x}), e \sigma=\sqrt{\sigma^2}. Nessa fórmula: \frac{1}{n}\sum x_i^2 é a média dos quadrados e \mu^2 é o quadrado da média; a diferença dá a variância.

Passo 6

Vamos calcular \sum x_i^2. Uso novamente a contagem de repetidos para facilitar:
  • 11^2=121, dois desses: 2\cdot 121 = 242.
  • 12^2=144, três desses: 3\cdot 144 = 432.
  • 13^2=169, um: 169.
  • 14^2=196, dois: 2\cdot196 = 392.
  • 15^2=225, dois: 2\cdot225 = 450.
  • 16^2=256, dois: 2\cdot256 = 512.
Somando: 242+432+169+392+450+512 = 2197. Assim
\sum_{i=1}^{12} x_i^2 = 2197.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da variância populacional:
\sigma^2 = \frac{1}{12}\cdot 2197 - \left(\frac{161}{12}\right)^2.
Faço as contas com frações para ficar exato. Primeiro \frac{1}{12}\cdot 2197 = \frac{2197}{12}. O quadrado da média é \left(\frac{161}{12}\right)^2 = \frac{25921}{144}. Para subtrair, escrevo ambos com denominador 144:
\frac{2197}{12} = \frac{2197\cdot 12}{144} = \frac{26364}{144}.
Então
\sigma^2 = \frac{26364}{144} - \frac{25921}{144} = \frac{26364-25921}{144} = \frac{443}{144}.
Em decimal, \frac{443}{144}\approx 3,0763889.

Passo 8

O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
\sigma = \sqrt{\frac{443}{144}} = \frac{\sqrt{443}}{12}.
Em decimal:
\sigma \approx 1,753967\\ \text{segundos},
arredondando para duas casas decimais: \sigma \approx 1,75\\ \text{segundos}.

Passo 9

Breve comentário didático sobre a alternativa (amostral): se alguém preferir o desvio padrão amostral s (divisor n-1), a variância amostral seria
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \frac{n}{n-1}\sigma^2 = \frac{12}{11}\cdot\frac{443}{144}=\frac{443}{132},
logo s\approx 1,832 s. A diferença não é grande aqui (≈ 1,75 vs 1,83 s), mas é importante saber qual interpretação você precisa na prova.

Resposta

Tempo médio: \displaystyle \bar{x}=\frac{161}{12}\approx 13,416\overline{6}\\ \text{segundos}
Desvio padrão (populacional): \displaystyle \sigma=\frac{\sqrt{443}}{12}\approx 1,754\\ \text{segundos}

Exercícios relacionados