Um grupo de 12 atletas teve seus tempos de corrida em um circuito (em segundos) medidos:
. Qual o tempo médio de corrida dos atletas? qual é o desvio padrão dos tempos registrados, indicando a variação no desempenho dos atletas?
Passo 1
O enunciado dá os tempos (em segundos) de 12 atletas:
.
As perguntas são: (1) qual o tempo médio de corrida dos atletas? e (2) qual o desvio padrão dos tempos registrados, para indicar a variação no desempenho?
Informações relevantes que temos: a lista completa dos tempos (ou seja, estamos descrevendo esse conjunto de dados de tamanho 12).
As perguntas são: (1) qual o tempo médio de corrida dos atletas? e (2) qual o desvio padrão dos tempos registrados, para indicar a variação no desempenho?
Informações relevantes que temos: a lista completa dos
Passo 2
O que é a média aritmética e como calculá-la?
A média aritmética de um conjunto de
valores
é a soma desses valores dividida por
. Em fórmula:
A média aritmética
Aqui
é o símbolo que usamos para a média,
são os tempos individuais e
é o número de atletas (aqui
). A ideia intuitiva: soma tudo e divide pelo número de observações.
Passo 3
Calculemos a soma dos tempos. Vou agrupar valores iguais para facilitar:
- Há dois
: . - Há três
: . - Há um
: . - Há dois
: . - Há dois
: . - Há dois
: .
Somando esses blocos:
. Logo
Passo 4
Aplicando a fórmula da média:
Transformando em decimal (para interpretar melhor):
é
inteiro e resto
, então decimal periódico de
dá
. Portanto
Isto responde a primeira pergunta (tempo médio). Respira, já chegamos até aqui — ótimo!
Passo 5
Agora vamos ao desvio padrão. Primeiro, explicação didática: o desvio padrão mede, em média, quão dispersos estão os valores em relação à média. Quanto maior o desvio padrão, maior a variação entre os atletas. Existem duas definições comuns:
- Desvio padrão populacional
, usado quando os dados representam toda a população de interesse (fórmula com divisor ). - Desvio padrão amostral
, usado quando os dados são uma amostra de uma população maior (fórmula com divisor ).
Como o enunciado forneceu os tempos desse grupo de 12 atletas (ou seja, estamos descrevendo exatamente esse conjunto), o mais natural é usar o desvio padrão populacional. Vou calcular ele, e no final explico rapidinho a diferença numérica se alguém pedisse o desvio amostral.
A fórmula que usaremos (forma prática) para a variância populacional
é:
onde
é a média (aqui
), e
. Nessa fórmula:
é a média dos quadrados e
é o quadrado da média; a diferença dá a variância.
Passo 6
Vamos calcular
. Uso novamente a contagem de repetidos para facilitar:
-
, dois desses: . -
, três desses: . -
, um: . -
, dois: . -
, dois: . -
, dois: .
Somando:
. Assim
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula da variância populacional:
Faço as contas com frações para ficar exato. Primeiro
. O quadrado da média é
. Para subtrair, escrevo ambos com denominador
:
Então
Em decimal,
.
Passo 8
O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
Em decimal:
arredondando para duas casas decimais:
.
Passo 9
Breve comentário didático sobre a alternativa (amostral): se alguém preferir o desvio padrão amostral
(divisor
), a variância amostral seria
logo
s. A diferença não é grande aqui (≈
vs
s), mas é importante saber qual interpretação você precisa na prova.
Resposta
Tempo médio:
Desvio padrão (populacional):
Desvio padrão (populacional):