Considere as seguintes equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Escreva a forma geral da solução da equação diferencial para cada uma.
y^prime prime+6 y^prime+8 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 8y = 0
O método envolve montar a equação característica associada e encontrar suas raízes para depois escrever a combinação linear das exponenciais correspondentes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica trocando ymapsto e^rx, de modo que
r^2 + 6r + 8 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r^2 + 6r + 8 = 0
usamos a soma e produto de raízes ou a fórmula de Bhaskara:
r = -6 pm raiz6^2 - 4cdot1cdot82 = -6 pm raiz36 - 322 = -6 pm 22
Logo as raízes são
r1 = -2, r2 = -4

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^-2x + C2 e^-4x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^-2x + C2 e^-4x

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