Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
F(x, y, z)=ln (2 y+3 z) i+ln (x+3 z) j+ln (x+2 y) k

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=ln(2y+3z),i+ln(x+3z),j+ln(x+2y),k
e pede (a) o rotacional nablatimesF e (b) o divergente nablacdotF. Vamos usar as definições de cálculo vetorial:
– Para o rotacional,
nablatimesF = i&j&k partialx&partialy&partialz F1&F2&F3 ,
onde F1=ln(2y+3z), F2=ln(x+3z), F3=ln(x+2y).
– Para o divergente,
nablacdotF =partialxF1+partialyF2+partialzF3

Passo 2

Calcular os parciais necessários para a primeira componente do rotacional (direção i):
partialyF3 =partialyl[ln(x+2y)r] =2x+2y,
partialzF2 =partialzl[ln(x+3z)r] =3x+3z
Logo,
(nablatimesF)x =partialyF3-partialzF2 =2x+2y-3x+3z

Passo 3

Calcular a segunda componente do rotacional (direção j):
partialzF1 =partialzl[ln(2y+3z)r] =32y+3z,
partialxF3 =partialxl[ln(x+2y)r] =1x+2y
Logo,
(nablatimesF)y =partialzF1-partialxF3 =32y+3z-1x+2y

Passo 4

Calcular a terceira componente do rotacional (direção k):
partialxF2 =partialxl[ln(x+3z)r] =1x+3z,
partialyF1 =partialyl[ln(2y+3z)r] =22y+3z
Logo,
(nablatimesF)z =partialxF2-partialyF1 =1x+3z-22y+3z

Passo 5

Calcular o divergente somando os parciais:
partialxF1 =partialxl[ln(2y+3z)r]=0,
partialyF2 =partialyl[ln(x+3z)r]=0,
partialzF3 =partialzl[ln(x+2y)r]=0
Portanto,
nablacdotF =0+0+0=0

Resposta

(a)
nablatimesF =l(2x+2y-3x+3zr)i +l(32y+3z-1x+2yr)j +l(1x+3z-22y+3zr)k
(b)
nablacdotF=0

Exercícios relacionados