Questão 7: Determine as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=e^x y^2, fx x y

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial mista ,fxxy da função
f(x,y)=e^x y^2
O conteúdo usado será a regra da cadeia para derivadas de exponenciais e a regra do produto para derivar em y um produto envolvendo y e e^x y^2.

Passo 2

Primeiro calculamos
,fx=partialpartial xe^x y^2
Pela regra da cadeia, a derivada de e^u é e^uu', com u=x y^2 e u'x=y^2. Logo
fx = y^2,e^x y^2

Passo 3

Agora derivamos novamente em x:
,fxx=partialpartial xl(y^2 e^x y^2r)
Aqui y^2 é constante em relação a x, então
fxx = y^2cdotl(y^2 e^x y^2r) = y^4,e^x y^2

Passo 4

Finalmente derivamos ,fxx em y para obter ,fxxy. Temos
fxx = y^4,e^x y^2,
que é um produto de y^4 por e^x y^2. Pela regra do produto,
fxxy = partialpartial yl(y^4r),e^x y^2 + y^4;partialpartial yl(e^x y^2r)
Calculamos cada termo:
partialpartial y(y^4)=4y^3,
e pela regra da cadeia
partialpartial y(e^x y^2)=e^x y^2cdot(2xy).
Portanto
fxxy = 4y^3,e^x y^2 + y^4,(2xy),e^x y^2 = e^x y^2l(4y^3 + 2x y^5r)

Resposta

fxxy(x,y) = e^x y^2l(4y^3 + 2x y^5r)

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