Questão 7: Determine as derivadas parciais indicadas:
z=ln sen(x-y), partial^3 zpartial y partial^2 x

Passo 1

O enunciado dá a função
z = lnl(sen(x - y)r)
e pede a derivada mista de terceira ordem
partial^3zpartial y,partial^2x =partialpartial yl(partial^2zpartial x^2r)
Para resolver vamos usar a regra da cadeia e as derivadas usuais de funções trigonométricas.

Passo 2

Calcular zx=partial zpartial x.
Defina u = x - y. Então
z = lnl(sen ur),
logo, pela regra da cadeia,
zx = 1sen ucdotcos ucdotpartial upartial x = cos usen u = cot u = cot(x - y)

Passo 3

Calcular zxx=partial^2 zpartial x^2=partialpartial x(cot(x - y)).
Sabendo que dducot u = -csc^2 u e que partial u/partial x=1, obtém-se
zxx = -csc^2 u = -csc^2(x - y) = -1sen^2(x - y)

Passo 4

Calcular zxxy=partialpartial y(zxx).
Tomamos zxx = -sen^-2u. Derivando em relação a y, usando ddusen^-2u = -2sen^-3ucos u e partial u/partial y=-1,
partialpartial yl(sen^-2ur) = (-2)sen^-3ucos ucdot(-1) = 2,cos usen^3 u
Como zxx=-sen^-2u, temos
zxxy = -,2,cos usen^3 u = -2,cos(x - y)sen^3(x - y)

Resposta

partial^3zpartial y,partial^2x = -2,cos(x - y)sen^3(x - y)

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