Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias d^3/dx^3 y(x) + d^2/dx^2 y(x) = 1 Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs). Precisamos fazer duas coisas: primeiro, classificar a equação quanto à linearidade e à sua ordem, e segundo, encontrar a solução geral da versão homogênea dessa equação. Vamos destrinchar isso juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui, temos derivadas de de terceira e segunda ordem. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente. Então, qual é a ordem dessa equação?

Passo 3

A maior derivada é a de terceira ordem ( ), então a ordem da equação é 3.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre a linearidade. Uma equação diferencial é linear se a função e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou elevadas a alguma potência.
Na nossa equação:
e suas derivadas aparecem apenas de primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Portanto, a equação é linear.

Passo 5

Então, resumindo a classificação:
  • Ordem: 3
  • Linearidade: Linear

Passo 6

Agora, vamos determinar a solução geral da versão homogênea da equação. Primeiro, precisamos escrever a equação homogênea associada, que é quando o lado direito da equação é igual a zero:

Passo 7

Para resolver essa equação homogênea, vamos encontrar a solução geral da equação característica associada. Substituímos na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 8

Agora, fatoramos a equação característica:
Isso nos dá as raízes:

Passo 9

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Simplificando :
Onde são constantes arbitrárias.

Resposta

A equação diferencial é linear e de terceira ordem. A solução geral da equação homogênea associada é:
Onde são constantes que podem ser determinadas com condições adicionais.

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