Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias
Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs). Precisamos fazer duas coisas: primeiro, classificar a equação quanto à linearidade e à sua ordem, e segundo, encontrar a solução geral da versão homogênea dessa equação. Vamos destrinchar isso juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui, temos derivadas de
de terceira e segunda ordem. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente. Então, qual é a ordem dessa equação?
Passo 3
A maior derivada é a de terceira ordem (
), então a ordem da equação é 3.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre a linearidade. Uma equação diferencial é linear se a função
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou elevadas a alguma potência.
Na nossa equação:
Passo 5
Então, resumindo a classificação:
- Ordem: 3
- Linearidade: Linear
Passo 6
Agora, vamos determinar a solução geral da versão homogênea da equação. Primeiro, precisamos escrever a equação homogênea associada, que é quando o lado direito da equação é igual a zero:
Passo 7
Para resolver essa equação homogênea, vamos encontrar a solução geral da equação característica associada. Substituímos
na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Passo 8
Agora, fatoramos a equação característica:
Isso nos dá as raízes:
Passo 9
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Simplificando
:
Onde
são constantes arbitrárias.
Resposta
A equação diferencial
é linear e de terceira ordem. A solução geral da equação homogênea associada é:
Onde
são constantes que podem ser determinadas com condições adicionais.