Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias e y' + e^(-x) = 0 Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária: . Vamos precisar entender sobre linearidade e ordem de equações diferenciais, além de saber resolver equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação quanto à linearidade. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma . No nosso caso, temos , que pode ser reescrita como . Isso mostra que a equação é linear porque os coeficientes de e são funções de .

Passo 3

Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é o maior derivado presente nela. Aqui, a equação tem (primeira derivada) e nenhum derivado de ordem superior. Portanto, a equação é de primeira ordem.

Passo 4

Pronto, partimos para a segunda parte do exercício: encontrar a solução geral da equação diferencial que é homogênea. Uma equação é homogênea se pode ser escrita como . No nosso caso, , então a equação homogênea associada é .

Passo 5

Vamos resolver . Isso significa que a derivada de em relação a é zero, ou seja, é uma constante. Portanto, a solução geral dessa equação é , onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação homogênea é , onde é uma constante.

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