Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias
Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária:
. Vamos precisar entender sobre linearidade e ordem de equações diferenciais, além de saber resolver equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação quanto à linearidade. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma
. No nosso caso, temos
, que pode ser reescrita como
. Isso mostra que a equação é linear porque os coeficientes de
e
são funções de
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é o maior derivado presente nela. Aqui, a equação tem
(primeira derivada) e nenhum derivado de ordem superior. Portanto, a equação é de primeira ordem.
Passo 4
Pronto, partimos para a segunda parte do exercício: encontrar a solução geral da equação diferencial que é homogênea. Uma equação é homogênea se pode ser escrita como
. No nosso caso,
, então a equação homogênea associada é
.
Passo 5
Vamos resolver
. Isso significa que a derivada de
em relação a
é zero, ou seja,
é uma constante. Portanto, a solução geral dessa equação é
, onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação homogênea é
, onde
é uma constante.