Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias
Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente olhar uma equação diferencial ordinária que é
. O conteúdo aqui é equações diferenciais, e a gente vai precisar entender sobre linearidade, ordem das equações e como resolver soluções homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação quanto à linearidade e à ordem.
Ordem da Equação:
A ordem é o maior número de derivadas que aparecem na equação. Aqui, temos , que é uma segunda derivada. Então, a ordem é 2.
A ordem é o maior número de derivadas que aparecem na equação. Aqui, temos
Linearidade da Equação:
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas de primeiro grau e não estão multiplicadas entre si. A nossa equação é . Aqui,
aparece apenas na segunda derivada e não está multiplicado por outro termo envolvendo
. Portanto, a equação é linear.
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas de primeiro grau e não estão multiplicadas entre si. A nossa equação é
Passo 3
Agora, vamos determinar a solução geral da equação homogênea correspondente. A equação dada é não homogênea porque tem o termo constante 1. Para torná-la homogênea, removemos esse termo:
Resolvendo a Equação Homogênea:
-
Primeira Integração:
Integrandoem relação a , obtemos a primeira derivada: Aqui,é uma constante de integração. -
Segunda Integração:
Integrando novamenteem relação a , obtemos a função : Ondeé outra constante de integração.
Então, a solução geral da equação homogênea é
.
Resposta
A equação diferencial
é linear e de segunda ordem. A solução geral da equação homogênea
é
, onde
e
são constantes.