Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias c d^2/dx^2 y(x) = 1 Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente olhar uma equação diferencial ordinária que é . O conteúdo aqui é equações diferenciais, e a gente vai precisar entender sobre linearidade, ordem das equações e como resolver soluções homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação quanto à linearidade e à ordem.
Ordem da Equação:
A ordem é o maior número de derivadas que aparecem na equação. Aqui, temos , que é uma segunda derivada. Então, a ordem é 2.
Linearidade da Equação:
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas de primeiro grau e não estão multiplicadas entre si. A nossa equação é . Aqui, aparece apenas na segunda derivada e não está multiplicado por outro termo envolvendo . Portanto, a equação é linear.

Passo 3

Agora, vamos determinar a solução geral da equação homogênea correspondente. A equação dada é não homogênea porque tem o termo constante 1. Para torná-la homogênea, removemos esse termo:
Resolvendo a Equação Homogênea:
  1. Primeira Integração:
    Integrando em relação a , obtemos a primeira derivada:
    Aqui, é uma constante de integração.
  2. Segunda Integração:
    Integrando novamente em relação a , obtemos a função :
    Onde é outra constante de integração.
Então, a solução geral da equação homogênea é .

Resposta

A equação diferencial é linear e de segunda ordem. A solução geral da equação homogênea é , onde e são constantes.

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