Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias y'(x) + y(x)^2 = 8 Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial ordinária (EDO) da forma . O conteúdo aqui envolve classificação de equações diferenciais e resolução de equações homogêneas. Para resolver, precisamos entender o que torna uma equação diferencial linear ou não, identificar a ordem da equação e, se for homogênea, encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação quanto à linearidade e à ordem.
  • Ordem: A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada presente. Aqui, a maior derivada é , que é a primeira derivada. Portanto, a equação é de primeira ordem.
  • Linearidade: Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma , onde e são funções de . Nossa equação é . Note que temos , que é um termo não linear. Portanto, a equação é não linear.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se . No nosso caso, a equação é , onde . Portanto, não há equações homogêneas para resolver neste caso.

Resposta

(i) A equação diferencial é não linear e é de primeira ordem.
(ii) Não há equações homogêneas para determinar a solução geral neste exercício.

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