Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias b d/dx y(x) + y(x) = 2 x y(x) Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta a seguinte equação diferencial ordinária:
Vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e como resolver equações homogêneas para classificar e encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação quanto à linearidade e à ordem.
  • Ordem: A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada presente. Aqui, temos a derivada primeira , então é uma equação de primeira ordem.
  • Linearidade: Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
onde P(x) e Q(x) são funções de x. No nosso caso:
Aqui, e . Como a equação está na forma linear e não há termos como ou , ela é uma equação linear de primeira ordem.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se .
Na nossa equação reescrita:
Vemos que , então a equação é homogênea.

Passo 4

Para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem homogênea, usamos o fator integrante. A equação geral é:
O fator integrante mu(x) é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, isolamos y para obter a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial homogênea é:
onde C é uma constante arbitrária.

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