Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias
Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta a seguinte equação diferencial ordinária:
Vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e como resolver equações homogêneas para classificar e encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação quanto à linearidade e à ordem.
-
Ordem: A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada presente. Aqui, temos a derivada primeira
, então é uma equação de primeira ordem. -
Linearidade: Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
onde
e
são funções de
. No nosso caso:
Aqui,
e
. Como a equação está na forma linear e não há termos como
ou
, ela é uma equação linear de primeira ordem.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se
.
Na nossa equação reescrita:
Vemos que
, então a equação é homogênea.
Passo 4
Para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem homogênea, usamos o fator integrante. A equação geral é:
O fator integrante
é dado por:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, isolamos
para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial homogênea é:
onde
é uma constante arbitrária.