Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias
Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.
Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma equação diferencial ordinária de terceira ordem, que envolve as terceiras e segundas derivadas de
. Precisamos classificar a equação quanto à linearidade e à ordem, e depois encontrar a solução geral da versão homogênea dela. Para fazer isso, vamos precisar entender os conceitos de linearidade, ordem de uma equação diferencial e como resolver equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação quanto à linearidade. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida
e suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou elevadas a potências diferentes de um. Na equação dada:
As derivadas de
aparecem apenas com coeficientes constantes e sem multiplicações entre elas. Portanto, a equação é linear.
Passo 3
Agora, vamos determinar a ordem da equação diferencial. A ordem é determinada pela derivada de maior ordem presente na equação. Aqui, a derivada de terceira ordem
é a de maior ordem. Assim, a equação é de terceira ordem.
Passo 4
Para encontrar a solução geral da equação homogênea associada, primeiro vamos escrever a equação homogênea igualando o lado direito a zero:
Vamos resolver essa equação para encontrar a solução geral.
Passo 5
Vamos usar o método das equações características. Substituímos
por
, o que nos leva a:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Passo 6
Agora, resolvemos a equação característica:
As raízes são:
Passo 7
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação homogênea. Para raízes repetidas, adicionamos termos multiplicados por
. Assim, a solução geral é:
onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação homog��nea é: