Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias d^3/dx^3 y(x) + d^2/dx^2 y(x) = 1
Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma equação diferencial ordinária de terceira ordem, que envolve as terceiras e segundas derivadas de . Precisamos classificar a equação quanto à linearidade e à ordem, e depois encontrar a solução geral da versão homogênea dela. Para fazer isso, vamos precisar entender os conceitos de linearidade, ordem de uma equação diferencial e como resolver equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação quanto à linearidade. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou elevadas a potências diferentes de um. Na equação dada:
As derivadas de aparecem apenas com coeficientes constantes e sem multiplicações entre elas. Portanto, a equação é linear.

Passo 3

Agora, vamos determinar a ordem da equação diferencial. A ordem é determinada pela derivada de maior ordem presente na equação. Aqui, a derivada de terceira ordem é a de maior ordem. Assim, a equação é de terceira ordem.

Passo 4

Para encontrar a solução geral da equação homogênea associada, primeiro vamos escrever a equação homogênea igualando o lado direito a zero:
Vamos resolver essa equação para encontrar a solução geral.

Passo 5

Vamos usar o método das equações características. Substituímos por , o que nos leva a:
Podemos fatorar (que nunca é zero):

Passo 6

Agora, resolvemos a equação característica:
As raízes são:

Passo 7

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação homogênea. Para raízes repetidas, adicionamos termos multiplicados por . Assim, a solução geral é:
onde , e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação homog��nea é:

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