Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias
Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.
Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a seguinte equação diferencial ordinária:
O objetivo é:
- Classificar a equação quanto à linearidade e à ordem.
- Determinar a solução geral das equações homogêneas.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de equação linear, ordem de uma equação diferencial e métodos para resolver equações homogêneas.
Passo 2
Primeiramente, vamos classificar a equação quanto à linearidade e à ordem.
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
onde
são funções de
e
aparece apenas na primeira potência.
Comparando com a nossa equação:
Podemos reescrever como:
Observa-se que o termo
contém
multiplicado por uma função de
, o que torna a equação não linear.
Quanto à ordem, a equação envolve a primeira derivada de
, então a ordem é 1ª ordem.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos podem ser expressos de forma que, se
, toda a equação se anula.
Na nossa equação:
Se
, temos
, então a equação é homogênea.
Passo 4
Como a equação é homogênea e de 1ª ordem, podemos encontrar a solução geral utilizando métodos para equações separáveis.
Primeiro, vamos reorganizar a equação:
Isso pode ser escrito como:
Essa é uma equação separável, onde podemos separar as variáveis
e
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de
é
, e a integral de
é
.
Portanto:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, vamos isolar essa variável exponenciando ambos os lados:
Podemos reescrever
como uma nova constante
(já que
é também uma constante), então a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial homogênea é: