Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias d/dx y(x) + y(x) = 2 x y(x)
Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a seguinte equação diferencial ordinária:
O objetivo é:
  1. Classificar a equação quanto à linearidade e à ordem.
  2. Determinar a solução geral das equações homogêneas.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de equação linear, ordem de uma equação diferencial e métodos para resolver equações homogêneas.

Passo 2

Primeiramente, vamos classificar a equação quanto à linearidade e à ordem.
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
onde são funções de e aparece apenas na primeira potência.
Comparando com a nossa equação:
Podemos reescrever como:
Observa-se que o termo contém multiplicado por uma função de , o que torna a equação não linear.
Quanto à ordem, a equação envolve a primeira derivada de , então a ordem é 1ª ordem.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos podem ser expressos de forma que, se , toda a equação se anula.
Na nossa equação:
Se , temos , então a equação é homogênea.

Passo 4

Como a equação é homogênea e de 1ª ordem, podemos encontrar a solução geral utilizando métodos para equações separáveis.
Primeiro, vamos reorganizar a equação:
Isso pode ser escrito como:
Essa é uma equação separável, onde podemos separar as variáveis e :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de é , e a integral de é .
Portanto:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar , vamos isolar essa variável exponenciando ambos os lados:
Podemos reescrever como uma nova constante (já que é também uma constante), então a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial homogênea é:

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