Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias
Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.
Pede-se: (i) classificá-las quanto a linearidade e a ordeme (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial ordinária, que é uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. Aqui, temos
. O que precisamos fazer é:
- Classificar a equação quanto à linearidade e ordem.
- Determinar a solução geral das equações homogêneas associadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais lineares e de que ordem estamos lidando aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação. A ordem da equação diferencial é a maior derivada presente nela. Aqui, a maior derivada é a segunda derivada de
, ou seja,
. Então, essa é uma equação diferencial de segunda ordem.
Passo 3
Agora, vamos ver a linearidade da equação. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si.
Nossa equação é
. Aqui,
está na primeira potência e não está sendo multiplicada por nenhuma outra função de
. Além disso, o termo do lado direito é uma funç��o independente de
. Portanto, essa é uma equação diferencial linear.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte: determinar a solução geral das equações homogêneas. Primeiro, precisamos entender o que é uma equação homogênea. Uma equação diferencial linear é chamada de homogênea se todos os termos não dependentes da função desconhecida estão iguais a zero.
Nossa equação original é
. Para torná-la homogênea, igualamos o lado direito a zero:
Passo 5
Para resolver a equação homogênea
, vamos encontrar a solução geral. Isso significa encontrar todas as funções
que satisfazem essa equação.
Integrando ambos os lados da equação em relação a
, temos:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Agora, integramos novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.