Verifique que y = (2 + ln(x)) / x é solução para o problema de valor inicial
{x^2 y' + x y = 1, y(1) = 2}

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar se a função resolve o problema de valor inicial dado por:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, precisamos calcular a derivada de , substituir na equação diferencial e também verificar se a condição inicial é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A função é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e . Vamos calcular as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora que temos e , vamos substituir na equação diferencial:
Substituindo e :
Simplificando cada termo:
Agora, somando os termos:
As partes com se cancelam:
Isso confirma que a equação diferencial é satisfeita.

Passo 4

Por último, vamos verificar a condição inicial . Substituindo na função :
Sabemos que , então:
A condição inicial também é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é solução para o problema de valor inicial dado.

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