Resolva o problema de valor inicial
d/dx y(x0) + y(x) = x^2
com y(0)=2.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de valor inicial aqui. A equação que precisamos resolver é uma equação diferencial de primeira ordem:
E a condição inicial é que quando , . Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Ela está na forma:
Onde, no nosso caso, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a resolver equações lineares desse tipo.

Passo 3

O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui usamos a propriedade que multiplicar pela fator integrante transforma a esquerda em uma derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para . Para integrar o lado direito, podemos usar integração por partes.

Passo 6

Vamos integrar usando integração por partes duas vezes. Primeiro, definimos:
Aplicando integração por partes:
Ainda precisamos resolver , que novamente usa integração por partes.

Passo 7

Para :
Então:
Voltando ao passo anterior:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na equação:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 9

Usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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