Resolva o problema de valor inicial
.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de valor inicial aqui. A equação que precisamos resolver é uma equação diferencial de primeira ordem:
E a condição inicial é que quando
,
. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Ela está na forma:
Onde, no nosso caso,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a resolver equações lineares desse tipo.
Passo 3
O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui usamos a propriedade que multiplicar pela fator integrante transforma a esquerda em uma derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Para integrar o lado direito, podemos usar integração por partes.
Passo 6
Vamos integrar
usando integração por partes duas vezes. Primeiro, definimos:
Aplicando integração por partes:
Ainda precisamos resolver
, que novamente usa integração por partes.
Passo 7
Para
:
Então:
Voltando ao passo anterior:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na equação:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 9
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: