Resolva o problema de valor inicial d/dx y(x0) + y(x) = x^2 com y(0)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de valor inicial. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ). O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Isso acontece porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Agora, resolvemos novamente por partes:
Então:
Voltando à integral original:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução da equaç��o diferencial é:

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