Resolva o problema de valor inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de valor inicial. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
). O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Isso acontece porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Agora, resolvemos
novamente por partes:
-
⇒ -
⇒
Então:
Voltando à integral original:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equaç��o diferencial é: