(a) Mostre que uma função diferenciável decresce mais rapidamente em na direção oposta à do vetor gradiente, ou seja, na direção de .
(b) Utilize o resultado do item (a) para determinar a direção onde decresce mais rápido no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou tem duas partes. Na primeira parte (a), a gente precisa mostrar que uma função diferenciável diminui mais rápido na direção oposta ao vetor gradiente dela. Já na segunda parte (b), vamos aplicar esse resultado para uma função específica no ponto . Vamos precisar entender o que é o vetor gradiente e como ele está relacionado à taxa de variação da função em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é o vetor gradiente. Para uma função que depende de várias variáveis, o gradiente, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função no ponto . Além disso, o tamanho do gradiente indica quão rápido a função está aumentando nessa direção.
Passo 3
Agora, vamos pensar na direção oposta ao gradiente, ou seja, na direção de . Como o gradiente aponta para onde a função cresce mais rápido, a direção oposta vai ser onde a função diminui mais rápido. Para provar isso, vamos usar o conceito de derivada direcional.
Passo 4
A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Isso significa que a taxa de variação da função na direção de é o produto escalar do gradiente com .
Passo 5
Queremos encontrar a direção que maximiza essa derivada direcional negativa, ou seja, que faz a função diminuir mais rapidamente. Para isso, observamos que o produto escalar é máximo quando está na mesma direção que e mínimo quando está na direção oposta.
Passo 6
Portanto, a direção que causa a maior diminuição na função é . Isso mostra que a função decresce mais rapidamente na direção oposta ao vetor gradiente.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Queremos aplicar o resultado que acabamos de ver para a função no ponto . Primeiro, vamos calcular o gradiente dessa função nesse ponto.
Passo 8
O gradiente de é dado pelas derivadas parciais em relação a e :
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 9
Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :
Passo 10
Agora, vamos substituir e nas derivadas parciais:
Passo 11
Então, o gradiente no ponto é:
A direção oposta a esse gradiente é:
Passo 12
Para deixar a direção como um vetor unitário (com comprimento 1), vamos normalizar . Primeiro, calculamos o tamanho do vetor:
Então, o vetor unitário é:
Resposta
A função diminui mais rapidamente no ponto na direção aproximada de .