Justifique se a equação diferencial 2 x^2 y + a y^2 x y' = 0 com a constante, é uma equaçāo exata.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo , onde é uma constante. A questão é saber se essa equação é uma equação exata. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma equação exata e verificar se a condição necessária está sendo atendida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. A equação dada pode ser escrita como:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Em outras palavras, precisamos que:

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas:
Para que a equação seja exata, precisamos que .

Passo 6

Essa igualdade só é verdadeira se tivermos uma relação específica entre e , ou seja, não é válida para todos os valores de e . Portanto, a condição para exatidão não é satisfeita de forma geral.

Resposta

Não, a equação diferencial não é uma equação exata.

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