Justifique se a equação diferencial
com
constante, é uma equaçāo exata.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo
, onde
é uma constante. A questão é saber se essa equação é uma equação exata. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma equação exata e verificar se a condição necessária está sendo atendida.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. A equação dada pode ser escrita como:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Em outras palavras, precisamos que:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas:
Para que a equação seja exata, precisamos que
.
Passo 6
Essa igualdade só é verdadeira se tivermos uma relação específica entre
e
, ou seja, não é válida para todos os valores de
e
. Portanto, a condição para exatidão não é satisfeita de forma geral.
Resposta
Não, a equação diferencial
não é uma equação exata.