Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v. f(x, y, z) = raiz(x y z), (3, 2, 6), v = <-1, -2, 2>

Passo 1

Estamos aqui para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada parcial no ponto :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Assim, o gradiente no ponto é:

Passo 6

Agora, precisamos normalizar o vetor para obter um vetor unitário na mesma direção. A fórmula para o vetor unitário é:
Onde é o módulo de :
Então,

Passo 7

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor é .

Exercícios relacionados