Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
,
Passo 1
Estamos aqui para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada parcial no ponto
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Assim, o gradiente no ponto
é:
Passo 6
Agora, precisamos normalizar o vetor
para obter um vetor unitário na mesma direção. A fórmula para o vetor unitário
é:
Onde
é o módulo de
:
Então,
Passo 7
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
é
.