Questão 3 (2,5): (a) Utilize o Teorema de Convolução para mostrar que
\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right]=\frac{\operatorname{sen}(t)-t \cos (t)}{2}
Dica: Nos cálculos, lembre-se que \operatorname{sen}(t)=-\operatorname{sen}(-t) e \cos (t)=\cos (-t).
(b) Encontre a solução do PVI utilizando transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}(t)+y(t)=\operatorname{sen}(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, usar o Teorema de Convolução para mostrar que
\mathscr{L}^{-1}\biggl[\frac{1}{(s^{2}+1)^{2}}\biggr] =\frac{\sin(t)-t\cos(t)}{2}.
Depois, resolver o problema de valor inicial (PVI)
y''(t)+y(t)=\sin(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0
via transformada de Laplace. Vamos precisar saber que
\mathscr{L}[\sin(t)]=1/(s^{2}+1) e usar convolução e propriedades básicas de transformada.

Passo 2

Pelo Teorema de Convolução, se
F(s)=G(s)\,G(s),
então
\mathscr{L}^{-1}[F(s)] =(g*g)(t) =\int_{0}^{t}g(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Aqui G(s)=1/(s^{2}+1) e g(t)=\sin(t), logo
\mathscr{L}^{-1}\!\bigl[(s^{2}+1)^{-2}\bigr] =\int_{0}^{t}\sin(\tau)\,\sin(t-\tau)\,d\tau.

Passo 3

Calculamos
I=\int_{0}^{t}\sin(\tau)\,\sin(t-\tau)\,d\tau.
Usando a identidade
\sin A\sin B =\tfrac12\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr]
com A=\tau, B=t-\tau, obtemos
I =\tfrac12\int_{0}^{t}\bigl[\cos(2\tau-t)-\cos(t)\bigr]\,d\tau.
Como \cos(t) é constante em \tau,
I =\tfrac12\Bigl[\int_{0}^{t}\cos(2\tau-t)\,d\tau -\cos(t)\int_{0}^{t}d\tau\Bigr].
Integramos:
\int\cos(2\tau-t)\,d\tau =\tfrac12\sin(2\tau-t), \quad \int_{0}^{t}d\tau=t.
Logo
I =\tfrac12\Bigl[\tfrac12\bigl(\sin(t)-\sin(-t)\bigr)-t\cos(t)\Bigr].
Como \sin(-t)=-\sin(t),
I =\tfrac12\Bigl[\tfrac12\,(2\sin(t))-t\cos(t)\Bigr] =\frac{\sin(t)-t\cos(t)}{2}.

Passo 4

Portanto
\mathscr{L}^{-1}\bigl[(s^{2}+1)^{-2}\bigr] =\frac{\sin(t)-t\cos(t)}{2}.

Passo 5

Agora ao PVI aplicamos transformada de Laplace. Seja Y(s)=\mathscr{L}[y(t)].
Como y(0)=0 e y'(0)=0, temos
\mathscr{L}[y''] =s^{2}Y(s), \quad \mathscr{L}[y]=Y(s), \quad \mathscr{L}[\sin(t)]=\frac{1}{s^{2}+1}.
A transformada da equação dá
s^{2}Y(s)+Y(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 6

Fatorando Y(s),
Y(s)\,(s^{2}+1) =\frac{1}{s^{2}+1},
logo
Y(s) =\frac{1}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 7

Invertemos usando o resultado do Passo 4:
y(t) =\mathscr{L}^{-1}\bigl[Y(s)\bigr] =\frac{\sin(t)-t\cos(t)}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathscr{L}^{-1}\bigl[(s^{2}+1)^{-2}\bigr]=\frac{\sin(t)-t\cos(t)}{2}.
(b) \displaystyle y(t)=\frac{\sin(t)-t\cos(t)}{2}.

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