Questão 3 (2,5): (a) Utilize o Teorema de Convolução para mostrar que
Dica: Nos cálculos, lembre-se que
e
.
(b) Encontre a solução do PVI utilizando transformada de Laplace:
(b) Encontre a solução do PVI utilizando transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, usar o Teorema de Convolução para mostrar que
Depois, resolver o problema de valor inicial (PVI)
via transformada de Laplace. Vamos precisar saber que
e usar convolução e propriedades básicas de transformada.
Passo 2
Pelo Teorema de Convolução, se
então
Aqui
e
, logo
Passo 3
Calculamos
Usando a identidade
com
,
, obtemos
Como
é constante em
,
Integramos:
Logo
Como
,
Passo 4
Portanto
Passo 5
Agora ao PVI aplicamos transformada de Laplace. Seja
.
Como e
, temos
Como
A transformada da equação dá
Passo 6
Fatorando
,
logo
Passo 7
Invertemos usando o resultado do Passo 4:
Resposta
(a)
(b)
(b)