Considere as seguintes expressões matemáticas que são candidatas a Equações Fundamentais de vários sistemas termodinâmicos. Para que isto ocorra, ou seja, para que elas sejam matemática e fisicamente aceitáveis, elas têm que serem consistentes com os Postulados Básicos da Termodinâmica. Encontre, entre elas, quais são equações fundamentais verdadeiras e quais não são. Justifique suas respostas
\quad S=\left(\frac{R^{3}}{v_{0} \theta^{2}}\right)^{\frac{1}{5}}\left(N^{2} V U^{2}\right)^{\frac{1}{5}};

Passo 1

Enunciado dado: a expressão candidata a equação fundamental é
S=\left(\frac{R^{3}}{v_{0}\,\theta^{2}}\right)^{\frac{1}{5}}\bigl(N^{2}V U^{2}\bigr)^{\frac{1}{5}}.
O que o enunciado pede (lista de verificações que vou fazer, sem resolver ainda):
  1. Verificar se a expressão é consistente com os postulados básicos da termodinâmica que definem uma equação fundamental no representações de entropia: em particular
    • extensividade (homogeneidade de grau 1 em variáveis extensivas),
    • diferenciabilidade e as relações termodinâmicas básicas \partial S/\partial U=1/T, \partial S/\partial V=P/T, \partial S/\partial N=-\mu/T,
    • monotonicidade em U (temperatura positiva),
    • estabilidade termodinâmica (concavidade de S(U,V,N), isto é matriz Hessiana negativa semidefinida),
    • consistência com a relação de Euler e com as equações de estado (compatibilidade entre derivadas e Euler).
  2. Listo as variáveis e constantes: as variáveis termodinâmicas extensivas são U (energia interna), V (volume) e N (número de partículas). As constantes R,v_{0},\theta são parâmetros positivos fixos (vou assumir positivos, conforme usual). A constante multiplicativa será denotada convenientemente quando necessário.
A partir daqui eu começo a resolver/mostrar passo a passo cada verificação.

Passo 2

Verificação de extensividade (homogeneidade de grau 1) passo a passo.
Defino a constante positiva
C\equiv\left(\frac{R^{3}}{v_{0}\,\theta^{2}}\right)^{\frac{1}{5}}>0,
para escrever mais limpo
S=C\,N^{2/5}\,V^{1/5}\,U^{2/5}.
Agora faço o teste de escala: substituir (U,V,N)\mapsto(\lambda U,\lambda V,\lambda N) com \lambda>0. Então
S(\lambda U,\lambda V,\lambda N) = C\,(\lambda N)^{2/5}(\lambda V)^{1/5}(\lambda U)^{2/5}.
Agrupando os fatores \lambda:
(\lambda)^{2/5+1/5+2/5}= (\lambda)^{1}
pois 2/5+1/5+2/5=5/5=1. Logo
S(\lambda U,\lambda V,\lambda N)=\lambda\,C\,N^{2/5}V^{1/5}U^{2/5}=\lambda S(U,V,N).
Interpretação didática: isso mostra que S é homogênea de grau 1 nas variáveis extensivas, portanto é extensiva — requisito obrigatório para uma função entropia fundamental.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (relação com T,P,\mu) e verificação de monotonicidade em U.
Recordando a identificação termodinâmica na representação entropia:
\frac{\partial S}{\partial U}=\frac{1}{T},\qquad \frac{\partial S}{\partial V}=\frac{P}{T},\qquad \frac{\partial S}{\partial N}=-\frac{\mu}{T},
onde T é a temperatura, P a pressão e \mu o potencial químico.
Calculo \partial S/\partial U. Usando S=C\,N^{2/5}V^{1/5}U^{2/5},
\frac{\partial S}{\partial U} = C\,N^{2/5}V^{1/5}\cdot\frac{2}{5}U^{2/5-1} = \frac{2}{5}\,C\,N^{2/5}V^{1/5}U^{-3/5}.
Como C>0, N>0, V>0, U>0 em regime físico, concluímos que
\frac{\partial S}{\partial U}>0,
portanto \dfrac{1}{T}>0 e, assim, T>0. Isso satisfaz o requisito físico de temperatura positiva.
Escrevendo explicitamente a temperatura:
\frac{1}{T}=\frac{2}{5}\,C\,N^{2/5}V^{1/5}U^{-3/5} \quad\Rightarrow\quad T=\frac{5}{2}\,C^{-1}\,N^{-2/5}V^{-1/5}U^{3/5}.
Agora \partial S/\partial V:
\frac{\partial S}{\partial V} = C\,N^{2/5}\cdot\frac{1}{5}V^{1/5-1}U^{2/5} = \frac{1}{5}\,C\,N^{2/5}U^{2/5}V^{-4/5}.
Portanto
\frac{P}{T}=\frac{1}{5}\,C\,N^{2/5}U^{2/5}V^{-4/5},
e usando a expressão para T encontrada acima, podemos obter P explicitamente (não preciso simplificar para a conclusão principal): o sinal de P será positivo porque P/T>0 e T>0.
Agora \partial S/\partial N:
\frac{\partial S}{\partial N} = C\cdot\frac{2}{5}N^{2/5-1}V^{1/5}U^{2/5} = \frac{2}{5}\,C\,N^{-3/5}V^{1/5}U^{2/5}.
Logo
-\frac{\mu}{T}=\frac{2}{5}\,C\,N^{-3/5}V^{1/5}U^{2/5} \quad\Rightarrow\quad \mu=-T\cdot\frac{2}{5}\,C\,N^{-3/5}V^{1/5}U^{2/5}.
Como a derivada \partial S/\partial N>0, segue que \mu<0 (potencial químico negativo) se T>0. Um \mu negativo não é proibido; depende do sistema. Portanto não há inconsistência imediata aí.
Resumo didático deste passo: as relações termodinâmicas canônicas se obtêm pela diferenciação direta; a temperatura obtida é positiva — requisito essencial — e os demais parâmetros são finitos e bem definidos a partir das derivadas.

Passo 4

Verificação da relação de Euler (consistência global) usando homogeneidade.
Teorema de Euler para funções homogêneas de grau 1: se S(U,V,N) é homogênea de grau 1, então
S = U\frac{\partial S}{\partial U} + V\frac{\partial S}{\partial V} + N\frac{\partial S}{\partial N}.
Substituindo as interpretações termodinâmicas \partial S/\partial U=1/T, \partial S/\partial V=P/T, \partial S/\partial N=-\mu/T, temos
S = \frac{U}{T} + \frac{P V}{T} - \frac{\mu N}{T}.
Multiplicando por T:
T S = U + P V - \mu N.
Rearranjando resulta na fórmula energética de Euler (forma usual):
U = T S - P V + \mu N,
que é a relação de Euler para a energia interna — exatamente a consistência esperada entre a forma entropia e a energia. Conclusão: a forma atende à identidade de Euler exigida pela extensividade.

Passo 5

Verificação da estabilidade termodinâmica (concavidade de S, Hessiana negativa semidefinida).
Didática breve antes do cálculo: estabilidade exige que S(U,V,N) seja uma função côncava nas variáveis extensivas. Matematicamente, isso significa que a matriz Hessiana H com entradas H_{ij}=\partial^2 S/\partial X_i\partial X_j (onde X=(U,V,N)) deve ser negativa semidefinida. Vou calcular as segundas derivadas e analisar os menores principais.
Começo escrevendo S=C\,U^{a}V^{b}N^{c} com a=2/5,\; b=1/5,\; c=2/5 e a+b+c=1.
Primeiras derivadas (já obtidas para algumas):
S_U = a\,C\,U^{a-1}V^{b}N^{c},\qquad S_V = b\,C\,U^{a}V^{b-1}N^{c},\qquad S_N = c\,C\,U^{a}V^{b}N^{c-1}.
Segundas derivadas diagonais:
S_{UU} = a(a-1)C\,U^{a-2}V^{b}N^{c},
S_{VV} = b(b-1)C\,U^{a}V^{b-2}N^{c},
S_{NN} = c(c-1)C\,U^{a}V^{b}N^{c-2}.
Observação: como 0<a,b,c<1, cada termo a(a-1),b(b-1),c(c-1) é negativo. Portanto as derivadas segundas diagonais S_{UU},S_{VV},S_{NN} são negativas — bom sinal para concavidade.
Derivadas mistas:
S_{UV} = ab\,C\,U^{a-1}V^{b-1}N^{c}, \quad S_{UN} = ac\,C\,U^{a-1}V^{b}N^{c-1}, \quad S_{VN} = bc\,C\,U^{a}V^{b-1}N^{c-1},
todas positivas (pois a,b,c>0 e C>0).
Agora, para decidir se a matriz Hessiana é negativa semidefinida, uso duas observações úteis:
  1. Para funções da forma S=C\exp(g) com g=\sum_i a_i\ln X_i (aqui X_1=U,X_2=V,X_3=N), existe a identidade matricial
H = S\bigl(H_g + \nabla g\,\nabla g^{T}\bigr),
onde H_g é a Hessiana de g e \nabla g o gradiente de g. No nosso caso g=\sum a_i\ln X_i, então H_g é diagonal com entradas -(a_i/X_i^{2}) (negativas) e \nabla g tem entradas a_i/X_i. Isto facilita a análise.
  1. Usando o lema do determinante para uma matriz diagonal D e um rank-1 uu^{T}:
\det(D+uu^{T})=\det(D)\bigl(1+u^{T}D^{-1}u\bigr).
No nosso caso D=H_g e u=\nabla g. Calculamos
u^{T}D^{-1}u=\sum_{i}\frac{a_i^{2}}{X_i^{2}}\cdot\frac{X_i^{2}}{-a_i}=\sum_{i}-a_i=-1,
porque \sum_i a_i =1. Então 1+u^{T}D^{-1}u=0, o que implica que \det(H_g+\nabla g\nabla g^{T})=0. Multiplicando por S>0 não altera o sinal (apenas escala), então \det(H)=0. Esse resultado é esperado: a homogeneidade de grau 1 gera uma direção de degeneração (modo de escala) no Hessiano, logo um autovalor zero.
Para verificar negativa semidefinitude precisamos checar os menores principais:
  • O menor principal de ordem 1 (por exemplo S_{UU}) é negativo, como já vimos.
  • O menor principal de ordem 2 (por exemplo correspondente a submatriz em U,V) tem determinante \Delta_{2} = S_{UU}S_{VV} - (S_{UV})^{2}.Substituindo S_{UU}=a(a-1)C U^{a-2}V^{b}N^{c} etc., factorando C^{2}U^{2a-2}V^{2b-2}N^{2c}, obtém-se \Delta_{2} = C^{2}U^{2a-2}V^{2b-2}N^{2c}\,ab\bigl(1-(a+b)\bigr).Como a+b+c=1, temos 1-(a+b)=c>0. Logo \Delta_{2}>0. Assim o segundo menor principal é positivo.
  • O menor principal de ordem 3 (o determinante total do Hessiano) é zero, como mostrei usando o lema do determinante.
Padrão de sinais dos menores principais (D_1,D_2,D_3) é (<0,\;>0,\;=0). Esse padrão corresponde exatamente a uma matriz negativa semidefinida (primeiro menor negativo, segundo positivo, terceiro não-positivo — aqui é zero por causa da homogeneidade). Portanto o Hessiano é negativo semidefinido e S é côncava nas variáveis extensivas — condição de estabilidade satisfeita.
Interpretação física didática: a presença de um autovalor zero no Hessiano decorre da homogeneidade de grau 1 (direção de escala em que S cresce linearmente); as demais direções apresentam curvatura negativa, garantindo estabilidade (capacidade calorífica positiva, etc.). Em particular, a curvatura negativa em energia dá S_{UU}<0 que implica C_{V}>0.

Passo 6

Conclusões finais, juntando todas as checagens:
  • Extensividade: verificada (homogeneidade de grau 1).
  • Diferenciabilidade e relações termodinâmicas: válidas; obtivemos expressões \frac{\partial S}{\partial U}=\dfrac{2}{5}C N^{2/5}V^{1/5}U^{-3/5}>0 (logo T>0), \frac{\partial S}{\partial V}=\dfrac{1}{5}C N^{2/5}U^{2/5}V^{-4/5} e \frac{\partial S}{\partial N}=\dfrac{2}{5}C N^{-3/5}V^{1/5}U^{2/5} que dão P e \mu consistentes.
  • Euler e relações de estado: coerentes pela homogeneidade (gera U=TS-PV+\mu N).
  • Estabilidade (concavidade): verificada — Hessiana negativa semidefinida (menores principais com sinais -,+,0).
Portanto não há inconsistência matemática ou física com os postulados básicos da termodinâmica: a expressão é aceitável como equação fundamental na representação entropia de um sistema homogêneo.

Resposta

Verdadeira. A expressão dada é uma equação fundamental aceitável (extensiva, dá T>0, satisfaz Euler e é côncava/estável).

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