Considere os seguintes fatos sobre um sinal em tempo discreto x[n], cuja transformada seja X(z). Determine X(z) e especifique a sua região de convergência.
a) x[n] é real e lateral direito;
b) X(z) tem exatamente dois polos;
c) X(z) tem apenas dois zeros na origem;
d) X(z) tem um polo em Z=\frac{1}{2} e^{j \frac{\pi}{3}} (módulo =1 / 2 e fase =\mathrm{pi} / 3 );
e) X(1)=\frac{8}{3}.

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Z X(z) de um sinal x[n] que é real e lateral direito (causal), sabendo que
  • há exatamente dois zeros em z=0;
  • há exatamente dois polos, um deles em
p_1 = \tfrac12 e^{j\pi/3},
e, por realidade de x[n], o outro é seu conjugado
p_2 = \tfrac12 e^{-j\pi/3}.
Além disso, satisfaz
X(1) = \tfrac{8}{3}.
Precisamos determinar a forma geral de X(z), achar a constante de escala e indicar a Região de Convergência.

Passo 2

Como X(z) tem dois zeros em z=0, há um fator z^{-2} no numerador. E sendo causal (lateral direito), a forma geral é
X(z) \;=\; K\,\frac{z^{-2}}{\bigl(1 - p_1\,z^{-1}\bigr)\bigl(1 - p_2\,z^{-1}\bigr)},
onde K é uma constante real a determinar.

Passo 3

Multiplicando os fatores do denominador e usando
p_1 + p_2 = \tfrac12\bigl(e^{j\pi/3}+e^{-j\pi/3}\bigr) = \tfrac12\cdot2\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac12,
p_1\,p_2 = \bigl(\tfrac12\bigr)^2 = \tfrac14,
obtemos
\bigl(1 - p_1 z^{-1}\bigr)\bigl(1 - p_2 z^{-1}\bigr) = 1 - (p_1+p_2)\,z^{-1} + (p_1p_2)\,z^{-2} = 1 - \tfrac12\,z^{-1} + \tfrac14\,z^{-2}.
Logo
X(z) = K\,\frac{z^{-2}}{1 - \tfrac12\,z^{-1} + \tfrac14\,z^{-2}}.

Passo 4

Usamos a condição X(1)=\tfrac{8}{3}. Ao substituir z=1 temos
X(1) = K\,\frac{1^{-2}}{1 - \tfrac12\cdot1^{-1} + \tfrac14\cdot1^{-2}} = K\;\Big/\;\Bigl(1 - \tfrac12 + \tfrac14\Bigr) = K\;\Big/\;\tfrac34 = \frac{4K}{3}.
Como isso deve valer \tfrac{8}{3}, segue
\frac{4K}{3} = \frac{8}{3} \quad\Longrightarrow\quad K = 2.
Portanto
X(z) = 2\,\frac{z^{-2}}{1 - \tfrac12\,z^{-1} + \tfrac14\,z^{-2}}.

Passo 5

Por ser causal, a Região de Convergência é
\bigl|z\bigr| > \max\{|p_1|,|p_2|\} = \tfrac12.

Resposta

X(z) = 2\,\frac{z^{-2}}{1 - \tfrac12\,z^{-1} + \tfrac14\,z^{-2}}, \qquad \mathrm{ROC:}\;|z| > \tfrac12.

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