Determine a transformada Z inversa utilizando o método da expansão em frações parciais.
X(z)=\frac{1-z^{-1}}{1-\frac{1}{4} z^{-2}} \quad|z|>\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede a sequência x[n] cuja transformada de Z é
X(z)=\frac{1-z^{-1}}{1-\frac14z^{-2}},
com região de convergência \lvert z\rvert>\tfrac12.
O conteúdo principal é a transformada inversa de Z por expansão em frações parciais; vamos fatorar o denominador, decompor em termos padrões e usar tabelas de transformada de Z causal.

Passo 2

Reescrevemos o denominador em potências de z^{-1} e fatoramos:
1-\frac14z^{-2}=\Bigl(1-\tfrac12z^{-1}\Bigr)\Bigl(1+\tfrac12z^{-1}\Bigr).
Logo
X(z) =\frac{1-z^{-1}} {\bigl(1-\tfrac12z^{-1}\bigr)\bigl(1+\tfrac12z^{-1}\bigr)}.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{1-z^{-1}} {\bigl(1-\tfrac12z^{-1}\bigr)\bigl(1+\tfrac12z^{-1}\bigr)} =\frac{A}{1-\tfrac12z^{-1}}+\frac{B}{1+\tfrac12z^{-1}}.
Multiplicando em comum denominador obtém-se
1-z^{-1} =A\Bigl(1+\tfrac12z^{-1}\Bigr)+B\Bigl(1-\tfrac12z^{-1}\Bigr).

Passo 4

Igualando coeficientes de termos em z^{0}\) e \(z^{-1}\): \[\begin{cases} A+B=1,\\\ \tfrac12A-\tfrac12B=-1. \end{cases}
Da segunda equação (A-B=-2].
Resolvendo o sistema vem
A=-\tfrac12, \quad B=\tfrac32.

Passo 5

Assim
X(z) =-\frac{\tfrac12}{1-\tfrac12z^{-1}} +\frac{\tfrac32}{1+\tfrac12z^{-1}}.
Sabendo que para \lvert z\rvert> |a| vale
\frac{1}{1-a\,z^{-1}} \longleftrightarrow a^{n}u[n],
temos
-\frac{\tfrac12}{1-\tfrac12z^{-1}} \longleftrightarrow -\tfrac12\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}u[n], \quad \frac{\tfrac32}{1+\tfrac12z^{-1}} =\frac{\tfrac32}{1-(-\tfrac12)z^{-1}} \longleftrightarrow \tfrac32\bigl(-\tfrac12\bigr)^{n}u[n].

Passo 6

Somando os dois termos obtemos a sequência causal
x[n] =\Bigl[-\tfrac12\bigl(\tfrac12\bigr)^{n} +\tfrac32\bigl(-\tfrac12\bigr)^{n}\Bigr]u[n].

Resposta

x[n] =\Bigl(-\tfrac12\bigl(\tfrac12\bigr)^{n} +\tfrac32\bigl(-\tfrac12\bigr)^{n}\Bigr)u[n].

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