Considere um sinal y[n] que está relacionado a dois sinais x_{1}[n] e x_{2}[n] através da expressão:
y[n]=x_{1}[n+3] * x_{2}[-n+1]
sendo que:
x_{1}[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[n] \quad x_{2}[n]=\left(\frac{1}{3}\right)^{n} u[n]
Dado que a^{n} u[n] \stackrel{z}{\longleftrightarrow} \frac{1}{1-a z^{-1}} \quad|z|>|a|, utilize as propriedades da transformada Z para determinar o sinal Y(z). Verifique também o que ocorre com a região de convergência.

Passo 1

O enunciado dá
y[n]=x_{1}[n+3]*x_{2}[-n+1]
com
x_{1}[n]=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}u[n],\quad x_{2}[n]=\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n}u[n].
Queremos Y(z) usando propriedades da transformada Z: transformação de retardo (shift), reversão de tempo e convolução (multiplicação em z-domínio).

Passo 2

Conhecemos
x_{1}[n]=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}u[n]\\ \stackrel{Z}{\longleftrightarrow}\\ X_{1}(z)=\frac{1}{1-\tfrac12\,z^{-1}},\quad \text{ROC: }|z|>\tfrac12.

Passo 3

Definimos a[n]=x_{1}[n+3]. Pela propriedade de shift
x[n-n_{0}]\\ \stackrel{Z}{\longleftrightarrow}\\ z^{-n_{0}}X(z),
aqui temos n-n_{0}=n+3\Rightarrow n_{0}=-3, logo
A(z)=Z\{x_{1}[n+3]\}=z^{3}X_{1}(z) =z^{3}\,\frac{1}{1-\tfrac12\,z^{-1}},
ROC permanece |z|>\tfrac12.

Passo 4

De modo análogo
x_{2}[n]=\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n}u[n]\\ \stackrel{Z}{\longleftrightarrow}\\ X_{2}(z)=\frac{1}{1-\tfrac13\,z^{-1}},\quad \text{ROC: }|z|>\tfrac13.

Passo 5

Faça reversão de tempo: w[n]=x_{2}[-n]. A propriedade é
x[-n]\\ \stackrel{Z}{\longleftrightarrow}\\ X\bigl(z^{-1}\bigr),
com ROC invertida. Assim
W(z)=X_{2}(z^{-1}) =\frac{1}{1-\tfrac13\,z},
novo ROC: \bigl|z^{-1}\bigr|>\tfrac13\iff|z|<3.

Passo 6

Agora defina b[n]=x_{2}[-n+1]=w[n+1]. Aplica shift de +1 em w[n]:
w[n-n_{0}]\\ \stackrel{Z}{\longleftrightarrow}\\ z^{-n_{0}}W(z),
aqui n-n_{0}=n+1\Rightarrow n_{0}=-1, então
B(z)=Z\{w[n+1]\}=z^{1}W(z) =z\,\frac{1}{1-\tfrac13\,z},
com ROC inalterada: |z|<3.

Passo 7

Finalmente, por convolução em tempo ser multiplicação em z-domínio,
Y(z)=A(z)\,B(z) =z^{3}\frac{1}{1-\tfrac12\,z^{-1}}\;\times\;z\,\frac{1}{1-\tfrac13\,z} =\frac{z^{4}}{\bigl(1-\tfrac12\,z^{-1}\bigr)\,\bigl(1-\tfrac13\,z\bigr)}.
A região de convergência é a interseção das ROCs de A e B:
\tfrac12<|z|<3.

Resposta

Y(z)=\frac{z^{4}}{\bigl(1-\tfrac12\,z^{-1}\bigr)\,\bigl(1-\tfrac13\,z\bigr)}, \quad\text{ROC: }\tfrac12<|z|<3.

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