Determine a transformada Z inversa utilizando o método da expansão em frações parciais.
X(z)=\frac{1-z^{-1}}{1-\frac{1}{4} z^{-2}} \quad|z|<\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede a antitransformada de
X(z)=\frac{1 - z^{-1}}{1 - \frac14 z^{-2}}
usando frações parciais, sabendo que a região de convergência é |z|<\tfrac12. Isso significa que o sinal resultante é anti‐causal (definido para índices negativos) e que vamos expandir em potências positivas de z.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador em termos de z^{-1}:
1 - \tfrac14 z^{-2} =\bigl(1 - \tfrac12 z^{-1}\bigr)\bigl(1 + \tfrac12 z^{-1}\bigr).
Logo podemos escrever
\frac{1 - z^{-1}}{1 - \tfrac14 z^{-2}} =\frac{A}{1 - \tfrac12 z^{-1}} +\frac{B}{1 + \tfrac12 z^{-1}}.

Passo 3

Para determinar A\) e \(B\) fazemos \[1 - z^{-1} =A\bigl(1 + \tfrac12 z^{-1}\bigr) +B\bigl(1 - \tfrac12 z^{-1}\bigr).
Isto gera o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\ \tfrac12 A - \tfrac12 B = -1, \end{cases}
cuja solução é A=-\tfrac12\] e \(B=\tfrac32. Assim
X(z) =-\frac{1/2}{1 - \tfrac12 z^{-1}} +\frac{3/2}{1 + \tfrac12 z^{-1}}.

Passo 4

Como a ROC é |z|<\tfrac12, cada termo deve ser expandido em potências positivas de z. A fórmula geral para
\frac{1}{1 - a\,z^{-1}}\quad\text{com ROC }|z|<|a|
é
\frac{1}{1 - a\,z^{-1}} =-\sum_{n=0}^{\infty}a^{-(n+1)}\,z^{n+1}.
Aplicando a cada fração:
  1. Para A=-\tfrac12 e a=\tfrac12:
-\frac12\cdot\frac{1}{1 - \tfrac12 z^{-1}} =-\frac12\Bigl(-\sum_{n=0}^\infty(2)^{n+1}z^{n+1}\Bigr) =\sum_{n=0}^\infty2^n\,z^{n+1}.
Isso corresponde a x[n] não nulo apenas para n\le -1, com coeficiente 2^{-n-1}.
  1. Para B=\tfrac32 e a=-\tfrac12:
\frac{3/2}{1 + \tfrac12 z^{-1}} =\frac{3/2}{1 - (-\tfrac12)z^{-1}} =-\frac{3/2}{\phantom{-}1 -(-\tfrac12)z^{-1}} =\sum_{n=0}^\infty3(-2)^{n-1}z^{n+1} =\sum_{n=0}^\infty3(-2)^n\,z^{n+1}\,\cdot\frac1{-2}.
Simplificando surge coeficiente 3(-2)^{-n-1} para n\le-1.
Somando os dois resultados, para n\le -1,
x[n] =2^{-n-1}+3(-2)^{-n-1},
e para n\ge0 temos x[n]=0.

Resposta

Para a região de convergência |z|<\tfrac12, a sequência inversa é
x[n] = \begin{cases} 2^{-n-1} \;+\; 3\,(-2)^{-n-1}, & n\le -1,\\\\ 0, & n\ge0. \end{cases}

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