Considere que o sinal x[n] tenha a seguinte transformada Z: X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-16}, com região de convergência |z|<4. Utilize as propriedades da transformada Z para calcular a transformada dos seguintes sinais. Verifique também a região de convergência.
y[n]=x[-n] * x[n]

Passo 1

O enunciado nos dá a transformada em Z do sinal x[n],
X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}-16},
com região de convergência |z|<4, e define
y[n]=x[-n]*x[n].
Queremos usar as propriedades de reversão de tempo e de convolução para achar Y(z) e sua ROC.

Passo 2

Para o sinal revertido x[-n] vale a propriedade de reversão de tempo:
Z\{x[-n]\}=X\bigl(1/z\bigr).
Logo,
X_{\rm rev}(z)=X\bigl(1/z\bigr) =\frac{(1/z)^{2}}{(1/z)^{2}-16} =\frac{1/z^{2}}{1/z^{2}-16}.
A ROC de X_{\rm rev}(z) é |1/z|<4, isto é, |z|>1/4.

Passo 3

Como y[n]=x[-n]*x[n] é a convolução em tempo, em Z vale
Y(z)=X_{\rm rev}(z)\,X(z).

Passo 4

Multiplicando as duas frações:
Y(z) =\frac{z^{2}}{z^{2}-16}\;\cdot\;\frac{1/z^{2}}{1/z^{2}-16} =\frac{z^{2}}{(z^{2}-16)\,\bigl(1-16z^{2}\bigr)}.

Passo 5

A região de convergência de Y(z) é a interseção das ROCs de X(z) e X_{\rm rev}(z), ou seja,
|z|<4 \quad\text{e}\quad |z|>1/4 \quad\Longrightarrow\quad \frac14<|z|<4.

Resposta

Y(z)=\frac{z^{2}}{(z^{2}-16)\,\bigl(1-16z^{2}\bigr)}, \qquad \text{ROC: }\frac14<|z|<4.

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