Considere as seguintes funções:
f(x, y)=ln (x+y-1) ;
g(x, y)=e^x^2-y ;
h(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2 ;
i(x, y, z)=x^2 ln (x-y+z) ;
j(x, y, z)=1 / raizx^2+y^2+z^2-1
Determine a imagem de f, g, h, i e j.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente pegar estas funções
f(x,y)=ln(x+y-1), g(x,y)=e^x^2-y, h(x,y)=raiz36-9x^2-4y^2,
i(x,y,z)=x^2ln(x-y+z), j(x,y,z)=1raizx^2+y^2+z^2-1
e descobrir a imagem de cada uma — ou seja, todo o conjunto de valores de saída possíveis. A matéria aqui é “imagem de funções de várias variáveis”: vamos olhar primeiro o domínio (onde a função existe) e depois usar propriedades de logaritmo, exponencial, raiz e limites pra sacar o alcance de cada expressão.

Passo 2

Função f(x,y)=ln(x+y-1).
  1. Domínio: precisa ter x+y-1>0, ou seja x+y>1.
  2. Teoria do ln: ln(u), com u>0, percorre todo R — vai de -infty (quando uto0^+) até +infty (quando uto+infty).
  3. Conclusão: como x+y-1 pode ser qualquer número positivo, ln(x+y-1) pode ser qualquer real.

Passo 3

Função g(x,y)=e^,x^2-y.
  1. Domínio: x,yinR, sem restrição.
  2. Teoria da exponencial: e^t>0 para todo tinR; e quando tto-infty, e^tto0, e quando tto+infty, e^tto+infty.
  3. Aqui t=x^2-y percorre R (basta variar y para mais ou para menos). Logo e^x^2-y percorre todo (0,infty).

Passo 4

Função h(x,y)=raiz36-9x^2-4y^2.
  1. Domínio: dentro da raiz precisamos de 36-9x^2-4y^2>=0, ou seja 9x^2+4y^2<=36 (é uma elipse fechada).
  2. Teoria da raiz quadrada: raizA, com A>=0, vai de 0 (quando A=0) até raiz36=6 (quando A=36).
  3. Conclusão: h(x,y) varia em [0,6].

Passo 5

Função i(x,y,z)=x^2ln(x-y+z).
  1. Domínio: precisa de x-y+z>0 pra ln(x-y+z) existir.
  2. Teoria do produto: x^2>=0 e ln(u), u>0, percorre R.
    • Para obter valores negativos bem grandes, fixe xneq0 e faça x-y+zto0^+: aí ln(cdot)to-infty e o produto vai pra -infty.
    • Para obter valores positivos bem grandes, faça xtoinfty e escolha z,y tais que x-y+zsim x, então ln(x-y+z)simln x e x^2ln xto+infty.
    • Dá pra zerar com x=0 (desde que -y+z>0) ou colocando x-y+z=1.
  3. Conclusão: i atinge qualquer real, ou seja sua imagem é R.

Passo 6

Função j(x,y,z)=dfrac1raizx^2+y^2+z^2-1.
  1. Domínio: x^2+y^2+z^2-1>0, ou seja fora da esfera de raio 1.
  2. Analogia de limites: defina r=raizx^2+y^2+z^2>1.
    • Se rto1^+, então raizr^2-1to0^+ e jto+infty.
    • Se rto+infty, então raizr^2-1sim rto+infty e jto0^+.
  3. Conclusão: j percorre todos os valores positivos, imagem (0,infty).

Resposta

f: Im(f)=R.
g: Im(g)=(0,infty).
h: Im(h)=[0,6].
i: Im(i)=R.
j: Im(j)=(0,infty),.

Exercícios relacionados