Considere as seguintes funções:
Determine a imagem de
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente pegar estas funções
e descobrir a imagem de cada uma — ou seja, todo o conjunto de valores de saída possíveis. A matéria aqui é “imagem de funções de várias variáveis”: vamos olhar primeiro o domínio (onde a função existe) e depois usar propriedades de logaritmo, exponencial, raiz e limites pra sacar o alcance de cada expressão.
Passo 2
Função
.
- Domínio: precisa ter
, ou seja . - Teoria do ln:
, com , percorre todo — vai de (quando ) até (quando ). - Conclusão: como
pode ser qualquer número positivo, pode ser qualquer real.
Passo 3
Função
.
- Domínio:
, sem restrição. - Teoria da exponencial:
para todo ; e quando , , e quando , . - Aqui
percorre (basta variar para mais ou para menos). Logo percorre todo .
Passo 4
Função
.
- Domínio: dentro da raiz precisamos de
, ou seja (é uma elipse fechada). - Teoria da raiz quadrada:
, com , vai de (quando ) até (quando ). - Conclusão:
varia em .
Passo 5
Função
.
- Domínio: precisa de
pra existir. - Teoria do produto:
e , , percorre . - Para obter valores negativos bem grandes, fixe
e faça : aí e o produto vai pra . - Para obter valores positivos bem grandes, faça
e escolha tais que , então e . - Dá pra zerar com
(desde que ) ou colocando .
- Para obter valores negativos bem grandes, fixe
- Conclusão:
atinge qualquer real, ou seja sua imagem é .
Passo 6
Função
.
- Domínio:
, ou seja fora da esfera de raio 1. - Analogia de limites: defina
. - Se
, então e . - Se
, então e .
- Se
- Conclusão:
percorre todos os valores positivos, imagem .
Resposta
f:
.
g: .
h: .
i: .
j: .
g:
h:
i:
j: