Seja
phi: R R uma função diferenciável e seja g(x, y)=f(y)+f(x).
Verifique que
x partial gpartial x+y partial gpartial y=y f^prime(y)

Passo 1

O enunciado pede para a gente trabalhar com a função diferenciável f: ℝ→ℝ e g(x,y)=f(x)+f(y), e verificar que x∂g/∂x + y∂g/∂y = y f′(y).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de g: como g(x,y)=f(x)+f(y), temos a derivada em relação a x só “vê” f(x) e a de y só “vê” f(y). Logo,
partial gpartial x(x,y)=f'(x),
partial gpartial y(x,y)=f'(y)

Passo 3

Agora formamos a combinação x∂g/∂x + y∂g/∂y: substituindo as derivadas,
xpartial gpartial x+ypartial gpartial y=x f'(x)+y f'(y)

Passo 4

Comparando com o que queriam (y f′(y)), vemos que a expressão obtida só coincide com y f′(y) se x f′(x)=0, ou seja, em geral a igualdade não é válida para todo x. Portanto o resultado correto dessa combinação é x f′(x)+y f′(y), não apenas y f′(y), a menos de casos triviais.

Resposta

x,f’(x)+y,f’(y)

Exercícios relacionados