Seja
uma função diferenciável e seja
.
Verifique que
Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para a gente trabalhar com a função diferenciável f: ℝ→ℝ e g(x,y)=f(x)+f(y), e verificar que x∂g/∂x + y∂g/∂y = y f′(y).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de g: como g(x,y)=f(x)+f(y), temos a derivada em relação a x só “vê” f(x) e a de y só “vê” f(y). Logo,
Passo 3
Agora formamos a combinação x∂g/∂x + y∂g/∂y: substituindo as derivadas,
Passo 4
Comparando com o que queriam (y f′(y)), vemos que a expressão obtida só coincide com y f′(y) se x f′(x)=0, ou seja, em geral a igualdade não é válida para todo x. Portanto o resultado correto dessa combinação é x f′(x)+y f′(y), não apenas y f′(y), a menos de casos triviais.
Resposta
x,f’(x)+y,f’(y)