Seja
f(x, y)=integralx^2^y^2 e^-t^2 d t
Calcule
partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y)

Passo 1

A gente tem a função definida por
f(x,y)=integralx^2^y^2e^-t^2,dt
O conteúdo aqui é derivada parcial de uma integral cujos limites dependem de x e y. Vamos usar a regra de Leibniz para derivar com respeito a cada variável.

Passo 2

A regra de Leibniz para
partialpartial uintegrala(u)^b(u)g(t),dt = gl(b(u)r),b'(u) - gl(a(u)r),a'(u)
é o que precisamos. Aqui g(t)=e^-t^2, e os limites são a(x,y)=x^2 e b(x,y)=y^2.

Passo 3

Para calcular partial f/partial x, note que
a(x,y)=x^2 implica partial a/partial x=2x e
b(x,y)=y^2 implica partial b/partial x=0.
Substituindo na regra de Leibniz:
partial fpartial x(x,y) = g(y^2)cdot0 - g(x^2)cdot2x = -2x,e^-(x^2)^2 = -2x,e^-x^4

Passo 4

Para calcular partial f/partial y, agora partial a/partial y=0 e
partial b/partial y=2y. Logo:
partial fpartial y(x,y) = g(y^2)cdot2y - g(x^2)cdot0 = 2y,e^-(y^2)^2 = 2y,e^-y^4

Resposta

partial fpartial x(x,y) = -2x,e^-x^4, partial fpartial y(x,y) = 2y,e^-y^4

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