Considere as seguintes funções de duas variáveis:
b) f(x, y)=x^{2}+y^{2}
Verifique, à luz da definição formal de diferenciabilidade, se cada função é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando a definição formal de diferenciabilidade, se a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}. Vamos lembrar que f é diferenciável em um ponto (x_{0},y_{0}) se existe um mapa linear L\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que, para (h_{1},h_{2})\to(0,0),
f(x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})-L(h_{1},h_{2})=o\bigl(\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}\bigr).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y.
Essas derivadas existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

No ponto genérico (x_{0},y_{0}), o candidato a mapa linear (diferencial) é
L(h_{1},h_{2}) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,h_{1} + \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,h_{2} =2x_{0}\,h_{1}+2y_{0}\,h_{2}.

Passo 4

Vamos calcular o resto da aproximação:
f(x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2}) = (x_{0}+h_{1})^{2}+(y_{0}+h_{2})^{2} = x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+2x_{0}h_{1}+2y_{0}h_{2}+h_{1}^{2}+h_{2}^{2}.
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f(x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})-L(h_{1},h_{2}) =h_{1}^{2}+h_{2}^{2}.

Passo 5

Note que
\bigl|h_{1}^{2}+h_{2}^{2}\bigr| = \bigl\|(h_{1},h_{2})\bigr\|^{2},
onde \|(h_{1},h_{2})\|=\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}. Portanto
\frac{\bigl|f(x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})-L(h_{1},h_{2})\bigr|} {\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}} =\frac{\|(h_{1},h_{2})\|^{2}}{\|(h_{1},h_{2})\|} =\|(h_{1},h_{2})\|\to0 \quad\text{quando}\quad(h_{1},h_{2})\to(0,0).
Isto mostra que o erro é o(\|(h_{1},h_{2})\|), conforme a definição.

Resposta

A função f(x,y)=x^{2}+y^{2} é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

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