Encontre as inclinações e as equações das retas tangentes nas direções de xe y, nos pontos dados.
f(x, y)=e^{x y} \ln y at (0,1)

Passo 1

O enunciado pede as inclinações (ou seja, as derivadas parciais) de
f(x,y)=e^{xy}\ln y
nas direções dos eixos x e y no ponto (0,1), e em seguida as equações das retas tangentes a essa superfície nessas direções.

Passo 2

Calcular a derivada parcial em relação a x. Usando produto e cadeia,
f_x(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}\bigr)\,\ln y = \bigl(y\,e^{xy}\bigr)\ln y.
No ponto (0,1) temos y=1, e^{0\cdot1}=1 e \ln1=0, logo
f_x(0,1)=1\cdot0=0.

Passo 3

Calcular a derivada parcial em relação a y. Ainda por produto e cadeia,
f_y(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\bigr)\,\ln y +e^{xy}\,\frac{1}{y} = x\,e^{xy}\ln y + \frac{e^{xy}}{y}.
No ponto (0,1) isso dá
f_y(0,1) =0\cdot1\cdot0 + \frac{1}{1} =1.

Passo 4

O ponto sobre a superfície é
\bigl(0,1,f(0,1)\bigr) =\bigl(0,1, e^0\ln1\bigr) =(0,1,0).
Para escrever as retas tangentes em cada direção, usamos o vetor diretor (1,0,f_x) para x e (0,1,f_y) para y. Assim:
\ell_x:\\ (x,y,z) =(0,1,0)+t\,(1,0,0) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x=t,\\\ y=1,\\\ z=0. \end{cases}
\ell_y:\\ (x,y,z) =(0,1,0)+s\,(0,1,1) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x=0,\\\ y=1+s,\\\ z=0+s=s. \end{cases}

Resposta

Inclinações:
f_x(0,1)=0,
f_y(0,1)=1.
Equações das retas tangentes:
\ell_x:\\ \begin{cases} x=t,\\\ y=1,\\\ z=0, \end{cases} \qquad \ell_y:\\ \begin{cases} x=0,\\\ y=1+s,\\\ z=s. \end{cases}

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