Considere as seguintes funções de duas variáveis:
c) f(x, y)=e^{x}+y
Verifique, à luz da definição formal de diferenciabilidade, se cada função é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{x}+y
e pede para verificar, pela definição formal de diferenciabilidade em \mathbb{R}^2, se f é diferenciável em todo ponto (x_{0},y_{0}). Para isso precisamos mostrar que existe uma aplicação linear L tal que
f(x_{0}+h,\;y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})-L(h,k)=o\bigl(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\bigr).

Passo 2

Calculemos o incremento de f em (x_{0},y_{0}):
f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0}) =e^{\,x_{0}+h}+y_{0}+k-\bigl(e^{\,x_{0}}+y_{0}\bigr) =e^{\,x_{0}}\bigl(e^{h}-1\bigr)+k.

Passo 3

As derivadas parciais de f são
f_{x}(x,y)=e^{x}, \quad f_{y}(x,y)=1,
que são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. A aplicação linear candidata ao diferencial em (x_{0},y_{0}) é
L(h,k)=f_{x}(x_{0},y_{0})\,h+f_{y}(x_{0},y_{0})\,k =e^{\,x_{0}}\,h + k.

Passo 4

Definimos o resto
R(h,k) =f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})-L(h,k) =e^{\,x_{0}}\bigl(e^{h}-1\bigr)+k-\bigl(e^{\,x_{0}}h+k\bigr) =e^{\,x_{0}}\bigl(e^{h}-1-h\bigr).

Passo 5

Devemos mostrar que
\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\;\longrightarrow\;0 \quad\text{quando}\;(h,k)\to(0,0).
Como \sqrt{h^{2}+k^{2}}\ge|h|, tem-se
\left|\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\right| \le \bigl|e^{\,x_{0}}\bigr|\;\frac{\bigl|e^{h}-1-h\bigr|}{|h|}.
Mas pela expansão de Taylor e^{h}=1+h+o(h), logo
\frac{e^{h}-1-h}{h}\longrightarrow 0 \quad(h\to0).
Assim o quociente acima tende a zero, mostrando que R(h,k)=o(\sqrt{h^{2}+k^{2}}).

Resposta

A função f(x,y)=e^{x}+y é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

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