Considere as seguintes funções de duas variáveis:
d) f(x, y)=x+y^{2}
Verifique, à luz da definição formal de diferenciabilidade, se cada função é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar, pela definição formal de diferenciabilidade em \mathbb{R}^2, se a função
f(x,y)=x+y^2
é diferenciável em todo \mathbb{R}^2. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais, montar o diferencial linear e mostrar que o resto da expansão satisfaz
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f em um ponto genérico (x_0,y_0):
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=1, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=2y_0.
O mapa linear que aproxima f é
L(h,k) =1\cdot h + (2y_0)\cdot k.

Passo 3

Vamos escrever o resto da expansão de f em torno de (x_0,y_0):
R(h,k) =f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-L(h,k).
Como
f(x_0+h,y_0+k) =(x_0+h)+(y_0+k)^2 =x_0+h+y_0^2+2y_0k+k^2,
temos
R(h,k) =\bigl[x_0+h+y_0^2+2y_0k+k^2\bigr]-\bigl[x_0+y_0^2\bigr]-\bigl[h+2y_0k\bigr] =k^2.
Logo
\left|\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right| =\frac{|k|^2}{\sqrt{h^2+k^2}} \le \frac{|k|^2}{|k|} =|k| \longrightarrow 0 \quad\text{quando }(h,k)\to(0,0).

Resposta

A função f(x,y)=x+y^2 é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

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