Considere as seguintes funções de duas variáveis:
a)
Verifique, à luz da definição formal de diferenciabilidade, se cada função é diferenciável em todo
.
a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando a definição formal de diferenciabilidade, se a função
é diferenciável em todo
. Para isso, precisamos mostrar que em qualquer ponto
existe uma aplicação linear
(dada pelo gradiente) tal que
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais, que compõem o gradiente de
:
Logo, a aplicação linear candidata é
Passo 3
Verificamos a diferença entre o incremento real e o aproximação linear:
portanto
Como
é claramente
quando
, a condição de diferenciabilidade está satisfeita.
Resposta
A função
é diferenciável em todo
.