Considere as seguintes funções de duas variáveis:
a) f(x, y)=3 x+2 y
Verifique, à luz da definição formal de diferenciabilidade, se cada função é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando a definição formal de diferenciabilidade, se a função
f(x,y)=3x+2y
é diferenciável em todo \mathbb{R}^2. Para isso, precisamos mostrar que em qualquer ponto (a,b)\in\mathbb{R}^2 existe uma aplicação linear L (dada pelo gradiente) tal que
f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)=o\bigl(\sqrt{h^2+k^2}\bigr).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais, que compõem o gradiente de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2.
Logo, a aplicação linear candidata é
L(h,k)=3h+2k.

Passo 3

Verificamos a diferença entre o incremento real e o aproximação linear:
f(a+h,b+k)=3(a+h)+2(b+k)=3a+2b+(3h+2k),
portanto
f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k) =\bigl[3a+2b+(3h+2k)\bigr]-(3a+2b)-(3h+2k)=0.
Como 0 é claramente o\bigl(\sqrt{h^2+k^2}\bigr) quando (h,k)\to(0,0), a condição de diferenciabilidade está satisfeita.

Resposta

A função f(x,y)=3x+2y é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

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