Se f(x, y)=4-x^{2}-2 y^{2}, encontre f_{x}(1,1) e f_{y}(1,1) e interprete esses números como inclinações.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=4 - x^2 - 2y^2 e pede as derivadas parciais em (1,1) e sua interpretação geométrica como inclinações nas direções dos eixos.

Passo 2

Lembrando que a derivada parcial em relação a x fixa y e vice-versa, calculamos
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4 - x^2 - 2y^2\bigr) = -2x,
f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4 - x^2 - 2y^2\bigr) = -4y.

Passo 3

Avaliando em (1,1),
f_x(1,1) = -2\cdot1 = -2, \quad f_y(1,1) = -4\cdot1 = -4.

Passo 4

Interpretando esses valores: ao mover-se no sentido positivo de x mantendo y=1, a superfície cai com inclinação -2. Analogamente, ao mover-se no sentido positivo de y mantendo x=1, a superfície cai com inclinação -4.

Resposta

f_x(1,1) = -2 e f_y(1,1) = -4. Esses números significam que a inclinação da superfície em (1,1) é -2 na direção de x e -4 na direção de y.

Exercícios relacionados