Seja a função f(x, y)=x^{2} y+2 y^{2}. Determine geometricamente o significado das derivadas parciais de f no ponto (1,-2) em relação a x e a y. Descreva, por meio da interpretação geométrica, o que representam essas derivadas em termos da inclinação dos cortes da superfície segundo os planos paralelos aos planos x O z e y O z, respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
z = f(x,y) = x^2\,y + 2\,y^2
e pede a interpretação geométrica das derivadas parciais em (1,-2). Vamos precisar:
– Calcular \partial f/\partial x e \partial f/\partial y em (1,-2).
– Lembrar que \partial f/\partial x é a inclinação do traço da superfície no plano y=\text{constante} (paralelo a xOz), e \partial f/\partial y é a inclinação do traço no plano x=\text{constante} (paralelo a yOz).

Passo 2

Calculemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2\,y + 2\,y^2\bigr) =2x\,y.
Em seguida, em (1,-2):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,-2) =2\cdot1\cdot(-2) =-4.

Passo 3

Agora
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2\,y + 2\,y^2\bigr) =x^2 + 4\,y.
Em (1,-2) fica
\frac{\partial f}{\partial y}(1,-2) =1^2 + 4\cdot(-2) =1 - 8 =-7.

Passo 4

Geometricamente, \frac{\partial f}{\partial x}(1,-2)=-4 é a inclinação da curva obtida ao cortar a superfície pelo plano y=-2 (paralelo a xOz). Nesse corte temos
z(x)=f(x,-2)=-2x^2+8,
e sua derivada z'(1)=-4 diz que, ao aumentar x em 1 unidade, z diminui 4 unidades.

Passo 5

De modo análogo, \frac{\partial f}{\partial y}(1,-2)=-7 é a inclinação da curva de interseção com o plano x=1 (paralelo a yOz). Nesse corte
z(y)=f(1,y)=y+2y^2,
e dz/dy\bigl|_{y=-2}=-7 mostra que um acréscimo de 1 em y faz z cair 7 unidades.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,-2)=-4, inclinação do corte em y=-2;
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(1,-2)=-7, inclinação do corte em x=1.

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