( 0,5 pts) Considere a função abaixo e responda:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x^{2}-x & , \text { se } x<0 \\\ b & , \text { se } x=0 \\\ \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{x} & , \text { se } x>0 \end{array}\right.
(a) Para que valores de b a função f é contínua em 0 ?
(b) Para os valores de b encontrados no item anterior, f é diferenciável em 0 ?

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}-x, & x<0,\\\ b, & x=0,\\\ \displaystyle \frac{\sin^{2}(x)}{x}, & x>0, \end{cases}
e pede (a) os valores de b que garantem continuidade em 0 e (b) se, para esses b, f é diferenciável em 0. Vamos usar limites laterais para a continuidade e derivadas laterais para a diferenciabilidade.

Passo 2

Limite pela esquerda em 0:
\lim_{x\to0^-}(x^{2}-x)=0^{2}-0=0.

Passo 3

Limite pela direita em 0:
\lim_{x\to0^+}\frac{\sin^{2}(x)}{x} =\lim_{x\to0^+}\Bigl(\frac{\sin(x)}{x}\Bigr)\sin(x) =1\cdot0=0.

Passo 4

Para continuidade em 0 precisamos
b=f(0)=\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x),
logo b=0.

Passo 5

Com b=0, calculamos as derivadas laterais em 0:
f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{h^{2}-h-0}{h} =\lim_{h\to0^-}(h-1)=-1,
f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{\frac{\sin^{2}(h)}{h}-0}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{\sin^{2}(h)}{h^{2}} =\biggl(\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}\biggr)^{2}=1.
Como f'_-(0)\neq f'_+(0), f não é diferenciável em 0.

Resposta

(a) b=0
(b) f não é diferenciável em 0

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