Descreva o domínio das seguintes funções:
z=\frac{5 \ln x+y}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
z=\frac{5\ln x + y}{\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}.
Informações dadas e coisas a observar:
  • Aparece \ln x, ou seja há uma função logarítmica cujo argumento é x.
  • Aparece \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} no denominador, ou seja há uma raiz quadrada e ela está na divisão.
    A missão é determinar todos os pares (x,y) em \mathbb{R}^{2} para os quais essa expressão é bem definida (número real).

Passo 2

Condição vinda do logaritmo natural \ln x.
A definição de \ln t (logaritmo natural) exige que o argumento t seja estritamente positivo. Ou seja,
\ln x\\ \text{está definida se, e só se,}\\ x>0.áó
Explicando de forma bem simples: não existe \ln 0 nem \ln de número negativo no conjunto dos reais. Exemplos: \ln 1=0 porque 1>0; \ln(0{,}5) está definido; \ln(-1) não está definido em reais.

Passo 3

Condição vinda da raiz quadrada no denominador.
Para \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} ser um número real precisamos ter
4 - x^{2} - y^{2} \ge 0.
No entanto, como essa raiz está no denominador, não podemos admitir que o denominador seja zero (divisão por zero é proibida). Portanto precisamos da desigualdade estrita
4 - x^{2} - y^{2} > 0.
Reescrevendo,
x^{2} + y^{2} < 4.
Interpretação: isso significa que (x,y) deve estar no interior do círculo de centro (0,0) e raio 2. O ponto na circunferência onde x^{2}+y^{2}=4 é proibido porque tornaria o denominador zero.

Passo 4

Agora juntamos as duas condições simultâneas que precisam ocorrer: a condição do logaritmo e a condição da raiz/denominador. Assim o sistema de restrições é
\begin{cases} x>0,\\[4pt] x^{2} + y^{2} < 4. \end{cases}
Ou seja, o domínio é a interseção do semiplano x>0 com o disco aberto de raio 2 centrado na origem.]

Passo 5

Descrição geométrica e exemplos práticos.
Geométricamente, o domínio é o semicírculo aberto à direita do eixo y: todos os pontos estritamente dentro do círculo de raio 2 e com coordenada x positiva. A borda (a circunferência x^{2}+y^{2}=4) não está incluída; o eixo y (onde x=0) também não está incluído porque \ln 0 não existe.
Exemplos:
  • (1,1) está no domínio porque 1>0 e 1^{2}+1^{2}=2<4.
  • (2,0) não está porque 2^{2}+0^{2}=4 (denominador zero).
  • (-1,0) não está porque x=-1\le 0 (logaritmo não definido).

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>0,\;x^{2}+y^{2}<4\}

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