Descreva o domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
Informações dadas e coisas a observar:
- Aparece
, ou seja há uma função logarítmica cujo argumento é . - Aparece
no denominador, ou seja há uma raiz quadrada e ela está na divisão.
A missão é determinar todos os paresem para os quais essa expressão é bem definida (número real).
Passo 2
Condição vinda do logaritmo natural
.
A definição de (logaritmo natural) exige que o argumento
seja estritamente positivo. Ou seja,
A definição de
Explicando de forma bem simples: não existe
nem
de número negativo no conjunto dos reais. Exemplos:
porque
;
está definido;
não está definido em reais.
Passo 3
Condição vinda da raiz quadrada no denominador.
Para ser um número real precisamos ter
Para
No entanto, como essa raiz está no denominador, não podemos admitir que o denominador seja zero (divisão por zero é proibida). Portanto precisamos da desigualdade estrita
Reescrevendo,
Interpretação: isso significa que
deve estar no interior do círculo de centro
e raio
. O ponto na circunferência onde
é proibido porque tornaria o denominador zero.
Passo 4
Agora juntamos as duas condições simultâneas que precisam ocorrer: a condição do logaritmo e a condição da raiz/denominador. Assim o sistema de restrições é
Ou seja, o domínio é a interseção do semiplano
com o disco aberto de raio
centrado na origem.]
Passo 5
Descrição geométrica e exemplos práticos.
Geométricamente, o domínio é o semicírculo aberto à direita do eixo : todos os pontos estritamente dentro do círculo de raio
e com coordenada
positiva. A borda (a circunferência
) não está incluída; o eixo
(onde
) também não está incluído porque
não existe.
Exemplos:
Geométricamente, o domínio é o semicírculo aberto à direita do eixo
Exemplos:
-
está no domínio porque e . -
não está porque (denominador zero). -
não está porque (logaritmo não definido).