Resolva as seguintes inequações em \mathbb{R} :
3 x^{2}-2 x-1 \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação quadrática
3x^{2} - 2x - 1 \geq 0.
O conteúdo aqui é inequação de segundo grau: vamos encontrar as raízes do polinômio 3x^{2}-2x-1 e usar o fato de que, como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima. Assim, o polinômio será não negativo fora do intervalo entre as raízes.

Passo 2

Calcular o discriminante \Delta da equação 3x^{2}-2x-1=0:
\Delta = b^{2} - 4\,a\,c = (-2)^{2} - 4\cdot 3\cdot(-1) = 4 + 12 = 16.

Passo 3

Obter as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2\cdot 3} = \frac{2\pm 4}{6}.
Logo
x_{1} = \frac{2 + 4}{6} = 1 \quad\text{e}\quad x_{2} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}.

Passo 4

Como o coeficiente de x^2 (que é 3) é positivo, o gráfico de y=3x^{2}-2x-1 é uma parábola voltada para cima. Portanto:
  • Entre as raízes \bigl(-\tfrac{1}{3},1\bigr) o polinômio é negativo.
  • Fora desse intervalo, o polinômio é não negativo.

Resposta

A solução da inequação é
\bigl(-\infty,-\tfrac{1}{3}\bigr]\;\cup\;\bigl[1,\infty\bigr).

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