Considere as seguintes funções de onda psi(x) e determine se elas são fisicamente possíveis para todos os valores de x. Justifique sua resposta.
a) psi(x)=A x^2
b) psi(x)=B e^x

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções de onda definidas para todo xinR,
psia(x)=A x^2 e psib(x)=B e^x,
e pede para verificar se elas são fisicamente possíveis. O conteúdo aqui é o conceito de normalização de funções de onda em mecânica quântica: uma função de onda física deve ser quadrado\mbox{-}integrável em todo o eixo real.

Passo 2

A condição de aceitação de uma função de onda psi(x) é a normalização, ou seja,
integral-infty^+infty lvert psi(x)rvert^2,dx < infty
Se esse integral diverge, não há constante de normalização finita e a função não representa um estado físico.

Passo 3

Analisando psia(x)=A x^2, temos
integral-infty^+infty lvert A x^2rvert^2,dx = lvert Arvert^2 integral-infty^+infty x^4,dx
Mas
integral-infty^+infty x^4,dx = 2integral0^infty x^4,dx = 2l[tfracx^55r]0^infty = infty,
logo o integral diverge e psia não é normalizável.

Passo 4

Analisando psib(x)=B e^x, temos
integral-infty^+infty lvert B e^xrvert^2,dx = lvert Brvert^2 integral-infty^+infty e^2x,dx
Esse integral se comporta assim:
integral-infty^+infty e^2x,dx = integral-infty^0 e^2x,dx + integral0^infty e^2x,dx
a primeira parte é finita, mas
integral0^infty e^2x,dx = l[tfrace^2x2r]0^infty = infty
Portanto o integral diverge e psib também não é normalizável.

Resposta

a) psi(x)=A x^2 não é fisicamente possível (não normalizável).
b) psi(x)=B e^x não é fisicamente possível (não normalizável).

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