A região 1 , descrita por 3 x+4 y >= 10, é um espaço livre, enquanto a região 2 , descrita por 3 x +4 y <= 10, é um material magnético para o qual mu simeq 10 mu0. Assumindo que na fronteira entre o material e o espaço livre nāo exista corrente, determine B2, se B1=0,1 ax+0,4 ay+0,2 az Wb / m^2

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário
A fronteira entre as regiões 1 (espaço livre, mu1=mu0) e 2 (material magnético, mu2=10mu0) não possui corrente superficial. Em magnetostática, isso implica que na fronteira vale:
  1. A componente normal de B é contínua:
B1n = B2n
  1. A componente tangencial de H é contínua:
H1t = H2t,
sendo Hi=Bi/mui. Vamos usar essas condições para achar B2 a partir de B1.

Passo 2

Definir o vetor normal unitário e decompor B1
A fronteira é dada por 3x+4y=10. O gradiente dessa função, nabla(3x+4y)=(3,4,0), aponta de 2 para 1. O versor normal de 1 para 2 é
hat n = -1raiz3^2+4^2(3,ax +4,ay) = -l(tfrac35ax +tfrac45ayr)
Para decompor, é mais fácil usar o normal de 2 para 1 sem o sinal menos e depois interpretar a continuidade de norma. Definimos
n = 15(3,ax+4,ay)
Então a componente normal de B1 é
B1n = B1cdotn = (0,1,0,4,0,2)!cdot!(tfrac35,tfrac45,0) =0,1cdottfrac35+0,4cdottfrac45=0,06+0,32=0,38
E o vetor normal é
B1n =0,38,n=(0,228,ax+0,304,ay)
A componente tangencial é
B1t=B1-B1n =(0,1-0,228)ax+(0,4-0,304)ay+0,2,az =(-0,128)ax+0,096,ay+0,2,az

Passo 3

Aplicar as condições de contorno para achar B2
  1. Continuidade da normal de B:
B2n=B1n=0,228,ax+0,304,ay
  1. Continuidade da tangente de H:
B1tmu0=B2t10mu0 ;Longrightarrow; B2t=10,B1t =10l(-0,128,ax+0,096,ay+0,2,azr) =-1,28,ax+0,96,ay+2,0,az

Passo 4

Somar normal e tangencial para obter B2
B2=B2n+B2t =(0,228-1,28),ax+(0,304+0,96),ay+(0+2,0),az =-1,052,ax+1,264,ay+2,0,az

Resposta

B2=-1,052,ax+1,264,ay+2,0,az (Wb/m^2)

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