Considere as seguintes funções de R em R dadas por:
a) y=x^3
b) y=x+2
c) y=|x|
d) y=x^2-5 x+6
e) y=2^x
Quais são injetoras? Quais são sobrejetoras?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar cinco funções que vão de R para R e descobrir quais são injetoras e quais são sobrejetoras. Basicamente, precisamos entender dois conceitos:
  • Função Injetora: Cada elemento do conjunto de partida tem um único correspondente no conjunto de chegada. Ou seja, não tem dois valores diferentes de x que dão o mesmo y.
  • Função Sobrejetora: A função cobre todo o conjunto de chegada. Isso significa que para todo y em R, tem pelo menos um x que satisfaz y = f(x).
Vamos analisar cada função uma por uma para ver quais se encaixam nessas definições.

Passo 2

Função a) y = x^3
Primeiro, vamos ver se ela é injetora. Se pegarmos dois valores diferentes de x, digamos x1 e x2, e calculamos y1 = x1^3 e y2 = x2^3, se y1 = y2, então x1 = x2. Como o cubo de um número é único para cada x, essa função é injetora.
Agora, sobre a sobrejetividade. Queremos ver se todo número real y pode ser escrito como y = x^3. Sim, para qualquer y em R, existe um x = raiz[3]y que satisfaz a equação. Então, essa função também é sobrejetora.

Passo 3

Função b) y = x + 2
Vamos começar pela injetividade. Se x1 + 2 = x2 + 2, então claramente x1 = x2. Logo, a função é injetora.
Agora, para a sobrejetividade. Para qualquer y real, podemos encontrar um x tal que x = y - 2. Assim, todo y em R é atingido. Portanto, essa função também é sobrejetora.

Passo 4

Função c) y = |x|
Vamos ver a injetividade. Se considerarmos x1 = a e x2 = -a (onde a neq 0), temos y1 = |a| = | -a | = y2. Isso mostra que dois valores diferentes de x dão o mesmo y, então a função não é injetora.
Agora, sobre a sobrejetividade. A função |x| sempre resulta em valores maiores ou iguais a zero. Portanto, não conseguimos obter valores negativos no conjunto de chegada R. Logo, essa função não é sobrejetora.

Passo 5

Função d) y = x^2 - 5x + 6
Primeiro, a injetividade. Vamos resolver x^2 - 5x + 6 = x'^2 - 5x' + 6. Simplificando, temos x^2 - 5x = x'^2 - 5x'. Fatorando, vemos que pode haver dois valores diferentes de x que resultam no mesmo y, o que mostra que a função não é injetora.
Agora, a sobrejetividade. Essa é uma parábola que abre para cima. O valor mínimo ocorre no vértice. Calculando o vértice x = 52, substituindo na função dá y = (52)^2 - 5*(52) + 6 = 254 - 252 + 6 = 254 - 504 + 244 = -14. Então, a função cobre todos os valores de y >= -14, mas não cobre valores menores que isso. Portanto, não é sobrejetora no conjunto R.

Passo 6

Função e) y = 2^x
Primeiro, a injetividade. A função exponencial 2^x é sempre crescente. Isso significa que se x1 < x2, então 2^x1 < 2^x2. Portanto, não há dois valores diferentes de x que dão o mesmo y, fazendo essa função injetora.
Agora, para a sobrejetividade. A função 2^x sempre resulta em valores positivos, isto é, y > 0. Portanto, ela não cobre todo o conjunto dos números reais, já que não inclui valores negativos ou zero. Assim, essa função não é sobrejetora.

Resposta

  • Injetoras: y = x^3, y = x + 2, y = 2^x
  • Sobrejetoras: y = x^3, y = x + 2

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