Considere as seguintes funções de
em
dadas por:
a)
b)
c)
d)
e)
Quais são injetoras? Quais são sobrejetoras?
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar cinco funções que vão de
para
e descobrir quais são injetoras e quais são sobrejetoras. Basicamente, precisamos entender dois conceitos:
- Função Injetora: Cada elemento do conjunto de partida tem um único correspondente no conjunto de chegada. Ou seja, não tem dois valores diferentes de
que dão o mesmo . - Função Sobrejetora: A função cobre todo o conjunto de chegada. Isso significa que para todo
em , tem pelo menos um que satisfaz .
Vamos analisar cada função uma por uma para ver quais se encaixam nessas definições.
Passo 2
Função a)
Primeiro, vamos ver se ela é injetora. Se pegarmos dois valores diferentes de
, digamos
e
, e calculamos
e
, se
, então
. Como o cubo de um número é único para cada
, essa função é injetora.
Agora, sobre a sobrejetividade. Queremos ver se todo número real
pode ser escrito como
. Sim, para qualquer
em
, existe um
que satisfaz a equação. Então, essa função também é sobrejetora.
Passo 3
Função b)
Vamos começar pela injetividade. Se
, então claramente
. Logo, a função é injetora.
Agora, para a sobrejetividade. Para qualquer
real, podemos encontrar um
tal que
. Assim, todo
em
é atingido. Portanto, essa função também é sobrejetora.
Passo 4
Função c)
Vamos ver a injetividade. Se considerarmos
e
(onde
), temos
. Isso mostra que dois valores diferentes de
dão o mesmo
, então a função não é injetora.
Agora, sobre a sobrejetividade. A função
sempre resulta em valores maiores ou iguais a zero. Portanto, não conseguimos obter valores negativos no conjunto de chegada
. Logo, essa função não é sobrejetora.
Passo 5
Função d)
Primeiro, a injetividade. Vamos resolver
. Simplificando, temos
. Fatorando, vemos que pode haver dois valores diferentes de
que resultam no mesmo
, o que mostra que a função não é injetora.
Agora, a sobrejetividade. Essa é uma parábola que abre para cima. O valor mínimo ocorre no vértice. Calculando o vértice
, substituindo na função dá
. Então, a função cobre todos os valores de
, mas não cobre valores menores que isso. Portanto, não é sobrejetora no conjunto
.
Passo 6
Função e)
Primeiro, a injetividade. A função exponencial
é sempre crescente. Isso significa que se
, então
. Portanto, não há dois valores diferentes de
que dão o mesmo
, fazendo essa função injetora.
Agora, para a sobrejetividade. A função
sempre resulta em valores positivos, isto é,
. Portanto, ela não cobre todo o conjunto dos números reais, já que não inclui valores negativos ou zero. Assim, essa função não é sobrejetora.
Resposta
- Injetoras:
, , - Sobrejetoras:
,