Dadas as funções
e
, qual a relação que
e
devem satisfazer para que se tenha
?
Passo 1
O enunciado dá duas funções lineares
e
,
e quer a condição para que a composição seja comutativa, isto é
.
Vamos usar a definição de composição de funções e a ideia de que dois polinômios são iguais para todo se e somente se seus coeficientes correspondentes coincidem.
e quer a condição para que a composição seja comutativa, isto é
Vamos usar a definição de composição de funções e a ideia de que dois polinômios são iguais para todo
Passo 2
Calcular
.
Como , temos
Como
Passo 3
Calcular
.
Como , temos
Como
Passo 4
Igualando as expressões obtidas:
Como os termos
aparecem dos dois lados, eles se cancelam, sobrando a igualdade entre constantes:
Passo 5
Resolvendo
:
Isso implica que, para
, deve valer
Se
, a equação torna-se
, sem solução.
Resposta
A condição de comutatividade é
isto é, para
,