Dadas as funções f(x)=2 x+m e g(x)=a x+2, qual a relação que a e m devem satisfazer para que se tenha (f circ g)(x)=(g circ f)(x) ?

Passo 1

O enunciado dá duas funções lineares
f(x)=2x+m e g(x)=ax+2,
e quer a condição para que a composição seja comutativa, isto é
(fcirc g)(x)=(gcirc f)(x).
Vamos usar a definição de composição de funções e a ideia de que dois polinômios são iguais para todo x se e somente se seus coeficientes correspondentes coincidem.

Passo 2

Calcular (fcirc g)(x)=fl(g(x)r).
Como g(x)=ax+2, temos
(fcirc g)(x)=f(ax+2)=2,(ax+2)+m=2ax+4+m

Passo 3

Calcular (gcirc f)(x)=gl(f(x)r).
Como f(x)=2x+m, temos
(gcirc f)(x)=g(2x+m)=a,(2x+m)+2=2a,x+a,m+2

Passo 4

Igualando as expressões obtidas:
2ax+4+m ;=;2ax+am+2
Como os termos 2ax aparecem dos dois lados, eles se cancelam, sobrando a igualdade entre constantes:
4+m = am+2

Passo 5

Resolvendo 4+m = a,m+2:
4+m -a,m -2 = 0 Longrightarrow (1-a),m +2 = 0 Longrightarrow (a-1),m = 2
Isso implica que, para aneq1, deve valer
m = 2a-1
Se a=1, a equação torna-se 0cdot m=2, sem solução.

Resposta

A condição de comutatividade é
(a-1),m = 2,
isto é, para aneq1,
m = 2a-1

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