Seja a relação R subseteq A times B, dada por R=(1,2),(2,3),(3,4).
a) Determine a relação inversa R^-1.
b) A relação R^-1 é uma função? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma relação R que está dentro do produto cartesiano A times B e é definida por R = (1,2), (2,3), (3,4) . A matéria que vamos usar aqui é Relações e Funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação inversa e também como identificar se uma relação é uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a relação inversa. Se você tem uma relação R que contém pares ordenados como (a, b) , a relação inversa R^-1 simplesmente troca cada par para (b, a) . É tipo inverter a ordem dos elementos.
Então, vamos aplicar isso na nossa relação R :
R = (1,2), (2,3), (3,4)
Invertendo cada par, temos:
R^-1 = (2,1), (3,2), (4,3)

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: determinar se R^-1 é uma função. Para isso, precisamos lembrar o que é uma função. Uma função é uma relação em que cada elemento do conjunto de partida está relacionado a apenas um elemento do conjunto de chegada. Ou seja, não pode ter dois pares que começam com o mesmo primeiro elemento se eles tiverem segundos elementos diferentes.
Vamos analisar R^-1 :
R^-1 = (2,1), (3,2), (4,3)
Aqui, cada primeiro elemento (2, 3, 4) está associado a apenas um segundo elemento (1, 2, 3). Não tem repetições do primeiro elemento com valores diferentes.

Resposta

a) A relação inversa R^-1 é (2,1), (3,2), (4,3) .
b) Sim, R^-1 é uma função, porque cada elemento do conjunto de partida está relacionado a apenas um elemento do conjunto de chegada.

Exercícios relacionados