Seja a relação
, dada por
.
a) Determine a relação inversa
.
b) A relação
é uma função? Justifique sua resposta.
a) Determine a relação inversa
b) A relação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma relação
que está dentro do produto cartesiano
e é definida por
. A matéria que vamos usar aqui é Relações e Funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação inversa e também como identificar se uma relação é uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a relação inversa. Se você tem uma relação
que contém pares ordenados como
, a relação inversa
simplesmente troca cada par para
. É tipo inverter a ordem dos elementos.
Então, vamos aplicar isso na nossa relação
:
Invertendo cada par, temos:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: determinar se
é uma função. Para isso, precisamos lembrar o que é uma função. Uma função é uma relação em que cada elemento do conjunto de partida está relacionado a apenas um elemento do conjunto de chegada. Ou seja, não pode ter dois pares que começam com o mesmo primeiro elemento se eles tiverem segundos elementos diferentes.
Vamos analisar
:
Aqui, cada primeiro elemento (2, 3, 4) está associado a apenas um segundo elemento (1, 2, 3). Não tem repetições do primeiro elemento com valores diferentes.
Resposta
a) A relação inversa
é
.
b) Sim,
é uma função, porque cada elemento do conjunto de partida está relacionado a apenas um elemento do conjunto de chegada.