Dado A neq emptyset, definimos a função identidade a função iA: A A dada por iA(x)=x, forall x in A.
a) Se f: A B é bijetora, então f circ f^-1=iB e f^-1 circ f=iA.
b) Se f: A B e g: B A e se g circ f=iA, f circ g=iB, então f e g são bijetoras e g=f^-1.

Passo 1

O enunciado trata das propriedades de funções inversas e da identidade. Em (a) devemos usar que f é bijetora para mostrar que compor com sua inversa dá as identidades em A e em B. Em (b) temos duas funções f e g cujas composições mútua dão as identidades, e precisamos concluir que cada uma é bijetora e que g é a inversa de f.

Passo 2

Demonstração de (a): seja fcolon Ato B bijetora.
Para todo yin B existe único xin A tal que f(x)=y; por definição x=f^-1(y). Logo
fl(f^-1(y)r)=y
para todo y, o que é justamente
fcirc f^-1=iB
De modo análogo, para todo xin A vale
f^-1l(f(x)r)=x
e, portanto,
f^-1circ f=iA

Passo 3

Demonstração de (b) – injetividade de f: suponha f(x1)=f(x2). Aplicando g em ambos os lados e usando gcirc f=iA obtemos
(gcirc f)(x1)=(gcirc f)(x2) ;Longrightarrow; iA(x1)=iA(x2) ;Longrightarrow; x1=x2
Logo f é injetora.

Passo 4

Demonstração de (b) – surjetividade de f: dado yin B, use fcirc g=iB para obter
fl(g(y)r)=y,
mostrando que todo yin B tem um antecedente g(y)in A. Assim f é sobrejetora, logo bijetora.

Passo 5

Ainda em (b), como gcirc f=iA e fcirc g=iB, g é inversa à esquerda e à direita de f. A inversa de uma bijeção é única, concluindo
g = f^-1

Resposta

(a) Como f é bijetora, temos fcirc f^-1=iB e f^-1circ f=iA.
(b) Se gcirc f=iA e fcirc g=iB, então f e g são bijetoras e g=f^-1.

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