Dado
, definimos a função identidade a função
dada por
.
a) Se
é bijetora, então
e
.
b) Se
e
e se
, então
e
são bijetoras e
.
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado trata das propriedades de funções inversas e da identidade. Em (a) devemos usar que
é bijetora para mostrar que compor com sua inversa dá as identidades em
e em
. Em (b) temos duas funções
e
cujas composições mútua dão as identidades, e precisamos concluir que cada uma é bijetora e que
é a inversa de
.
Passo 2
Demonstração de (a): seja
bijetora.
Para todo existe único
tal que
; por definição
. Logo
Para todo
para todo
, o que é justamente
De modo análogo, para todo
vale
e, portanto,
Passo 3
Demonstração de (b) – injetividade de
: suponha
. Aplicando
em ambos os lados e usando
obtemos
Logo
é injetora.
Passo 4
Demonstração de (b) – surjetividade de
: dado
, use
para obter
mostrando que todo
tem um antecedente
. Assim
é sobrejetora, logo bijetora.
Passo 5
Ainda em (b), como
e
,
é inversa à esquerda e à direita de
. A inversa de uma bijeção é única, concluindo
Resposta
(a) Como
é bijetora, temos
e
.
(b) Se e
, então
e
são bijetoras e
.
(b) Se