Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condiçōes do Teorema do Divergente e que as funções escalares e 3 s componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
29. \iint_{S}(f \nabla g) \cdot \mathbf{n} d S=\iiint_{E}\left(f \nabla^{2} g+\nabla f+\nabla g\right) d V

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses do Teorema do Divergente em E com fronteira S, vale
integral duplaS(fnabla g)cdotn,dS = integral triplaEl(fnabla^2 g+nabla fcdotnabla gr),dV
Aqui o conteúdo é o Teorema da Divergência aplicado ao campo vetorial A=fnabla g.

Passo 2

Recordando o Teorema do Divergente: se A tem derivadas parciais contínuas em E, então
integral duplaSAcdotn,dS = integral triplaEnabla!cdot!A,dV

Passo 3

Escolhemos o campo vetorial
A=f,nabla g
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integral duplaS(fnabla g)cdotn,dS = integral triplaEnabla!cdot!(fnabla g),dV

Passo 4

Usamos a regra do produto para divergência:
nabla!cdot!(fnabla g) =f,nabla!cdot!l(nabla gr)+nabla fcdotnabla g =f,nabla^2 g+nabla fcdotnabla g

Passo 5

Substituindo embaixo do integral de volume, obtemos
integral triplaEnabla!cdot!(fnabla g),dV = integral triplaEl(fnabla^2 g+nabla fcdotnabla gr),dV,
que é exatamente a identidade desejada.

Resposta

integral duplaS(fnabla g)cdotn,dS = integral triplaEl(fnabla^2 g+nabla fcdotnabla gr),dV

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