Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condiçōes do Teorema do Divergente e que as funções escalares e 3 s componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
29. \iint_{S}(f \nabla g) \cdot \mathbf{n} d S=\iiint_{E}\left(f \nabla^{2} g+\nabla f+\nabla g\right) d V
29. \iint_{S}(f \nabla g) \cdot \mathbf{n} d S=\iiint_{E}\left(f \nabla^{2} g+\nabla f+\nabla g\right) d V
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses do Teorema do Divergente em
com fronteira
, vale
Aqui o conteúdo é o Teorema da Divergência aplicado ao campo vetorial
.
Passo 2
Recordando o Teorema do Divergente: se
tem derivadas parciais contínuas em
, então
Passo 3
Escolhemos o campo vetorial
Logo
Passo 4
Usamos a regra do produto para divergência:
Passo 5
Substituindo embaixo do integral de volume, obtemos
que é exatamente a identidade desejada.