Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condiçōes do Teorema do Divergente e que as funções escalares e 3 s componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
28. \iint_{S} D_{\mathrm{n}} f d S=\iiint_{E} \nabla^{2} f d V

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se S é a fronteira orientada externamente de uma região sólida E e as derivadas parciais de segunda ordem de f são contínuas, então
integral duplaSD nf,dS=integral triplaEnabla^2f,dV
O conteúdo aplicado será o Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície de Fcdot n à integral de volume de nabla!cdot! F.

Passo 2

Interpretamos D nf como a derivada direcional de f ao longo do vetor normal unitário externo n. Por definição,
D nf=nabla fcdot n
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integral duplaSD nf,dS =integral duplaS(nabla fcdot n),dS

Passo 3

Definimos o campo vetorial
F=nabla f
Como F é o gradiente de f e f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, podemos calcular sua divergência:
nabla!cdot! F =nabla!cdot!(nabla f) =nabla^2f,
que é justamente a Laplaciana de f.

Passo 4

Aplicamos o Teorema da Divergência a F na região E:
integral duplaS Fcdot n,dS =integral triplaEnabla!cdot! F,dV
Substituindo F=nabla f e nabla!cdot! F=nabla^2f obtemos
integral duplaS(nabla fcdot n),dS =integral triplaEnabla^2f,dV

Passo 5

Reconhecendo na integral de superfície o termo integral duplaSD nf,dS, concluímos a identidade desejada:
integral duplaSD nf,dS =integral triplaEnabla^2f,dV

Resposta

integral duplaSD nf,dS =integral triplaEnabla^2f,dV

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