Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condiçōes do Teorema do Divergente e que as funções escalares e 3 s componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
28. \iint_{S} D_{\mathrm{n}} f d S=\iiint_{E} \nabla^{2} f d V
28. \iint_{S} D_{\mathrm{n}} f d S=\iiint_{E} \nabla^{2} f d V
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é a fronteira orientada externamente de uma região sólida
e as derivadas parciais de segunda ordem de
são contínuas, então
O conteúdo aplicado será o Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície de
à integral de volume de
.
Passo 2
Interpretamos
como a derivada direcional de
ao longo do vetor normal unitário externo
. Por definição,
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Passo 3
Definimos o campo vetorial
Como
é o gradiente de
e
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, podemos calcular sua divergência:
que é justamente a Laplaciana de
.
Passo 4
Aplicamos o Teorema da Divergência a
na região
:
Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Reconhecendo na integral de superfície o termo
, concluímos a identidade desejada: