Resolva as equações diferenciais abaixo usando as propriedades da transformada unilateral de Laplace, considerando ainda as condições iniciais listadas ao lado de cada equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é a transformada de Laplace, que é uma ferramenta bem legal para resolver equações diferenciais. Vamos precisar lembrar das propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de
é
, onde
é a transformada de Laplace de
. A transformada de
é simplesmente
, e a transformada de
é
. Então, aplicando a transformada de Laplace na equação, temos:
Passo 3
Sabemos que
, então substituímos na equação:
Agora, vamos juntar os termos que têm
:
Passo 4
Vamos isolar
. Primeiro, movemos o
para o outro lado da equação:
Para somar as frações, escrevemos o
com denominador
:
Agora, dividimos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para obter
. Vamos decompor a fração:
Sabemos que:
- A transformada inversa de
é . - A transformada inversa de
é .
Então, somando essas duas partes:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.