Resolva as equações diferenciais abaixo usando as propriedades da transformada unilateral de Laplace, considerando ainda as condições iniciais listadas ao lado de cada equação.
y^prime(t)+y(t)=e-t mid y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo y^prime(t) + y(t) = e^-t com a condição inicial y(0) = 1. A matéria que vamos usar aqui é a transformada de Laplace, que é uma ferramenta bem legal para resolver equações diferenciais. Vamos precisar lembrar das propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de y^prime(t) é sY(s) - y(0), onde Y(s) é a transformada de Laplace de y(t). A transformada de y(t) é simplesmente Y(s), e a transformada de e^-t é 1s+1. Então, aplicando a transformada de Laplace na equação, temos:
sY(s) - y(0) + Y(s) = 1s+1

Passo 3

Sabemos que y(0) = 1, então substituímos na equação:
sY(s) - 1 + Y(s) = 1s+1
Agora, vamos juntar os termos que têm Y(s):
Y(s)(s + 1) - 1 = 1s+1

Passo 4

Vamos isolar Y(s). Primeiro, movemos o -1 para o outro lado da equação:
Y(s)(s + 1) = 1s+1 + 1
Para somar as frações, escrevemos o 1 com denominador s+1:
Y(s)(s + 1) = 1s+1 + s+1s+1 = 1 + s + 1s+1 = s + 2s+1
Agora, dividimos ambos os lados por (s + 1) para resolver para Y(s):
Y(s) = s + 2(s + 1)(s + 1) = s + 2(s + 1)^2

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para obter y(t). Vamos decompor a fração:
Y(s) = s + 2(s + 1)^2 = s + 1 + 1(s + 1)^2 = s + 1(s + 1)^2 + 1(s + 1)^2
Sabemos que:
  • A transformada inversa de s + 1(s + 1)^2 é te^-t.
  • A transformada inversa de 1(s + 1)^2 é te^-t.
Então, somando essas duas partes:
y(t) = te^-t + te^-t = 2te^-t

Resposta

A solução da equação diferencial é y(t) = 2t,e^-t.

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