Integrando por partes, prove que
\mathcal{L}\left\{t^{n}\right\}=\frac{n!}{s^{n+1}}, \quad n \in \mathbb{N} \backslash\{0\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando integração por partes, que a transformada de Laplace de t^n é
\mathcal{L}\{t^n\}(s)=\int_{0}^{\infty}t^n e^{-st}\,dt=\frac{n!}{s^{n+1}},
para todo n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}. O conteúdo necessário é a definição da transformada de Laplace e a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 2

Escrevemos a definição da transformada e escolhemos em \displaystyle \int_{0}^{\infty}t^n e^{-st}\,dt
os fatores
u = t^n,\quad dv = e^{-st}\,dt.
Então
du = n\,t^{n-1}\,dt, \quad v = \int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st}.

Passo 3

Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty}t^n e^{-st}\,dt = \Bigl.u\,v\Bigr|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}v\,du = \Bigl.-\frac{1}{s}\,t^n e^{-st}\Bigr|_{0}^{\infty} + \frac{n}{s}\int_{0}^{\infty}t^{n-1}e^{-st}\,dt.
Para s>0, o termo \displaystyle t^n e^{-st} tende a zero quando t\to\infty, e é nulo em t=0. Logo o termo de fronteira desaparece, sobrando
\int_{0}^{\infty}t^n e^{-st}\,dt = \frac{n}{s}\int_{0}^{\infty}t^{n-1}e^{-st}\,dt = \frac{n}{s}\,\mathcal{L}\{t^{n-1}\}(s).

Passo 4

Obtivemos a relação de recorrência
\mathcal{L}\{t^n\}(s) = \frac{n}{s}\,\mathcal{L}\{t^{n-1}\}(s).
Para iniciar, note que
\mathcal{L}\{t^0\}(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}.
Aplicando a recorrência sucessivamente para n=1,2,\dots, temos
\mathcal{L}\{t^n\}(s) = \frac{n}{s}\,\mathcal{L}\{t^{n-1}\}(s) = \frac{n}{s}\,\frac{(n-1)!}{s^n} = \frac{n!}{s^{n+1}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^n\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},\quad n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}.

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