Considere as seguintes matrizes A= 1 12 3 B=X Y 1 4 A soma dos valores de X e Y que tornam as matrizes A e B comutáveis, isto é AB=BA, é:
A.5/2
B.7/2
C.3
D.4
A.5/2
B.7/2
C.3
D.4
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra envolvendo matrizes. A gente precisa descobrir quais valores de $ X $ e $ Y $ fazem com que duas matrizes, $ A $ e $ B $, se comutem, ou seja, que $ AB = BA $. Para isso, vamos usar a multiplicação de matrizes e igualar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as matrizes $ A $ e $ B $ de forma clara:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ AB $. A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular $ BA $:
Passo 5
Para que $ AB = BA $, as duas matrizes resultantes devem ser iguais. Então, vamos igualar os elementos correspondentes:
Passo 6
Vamos resolver cada equação:
- $ X + 1 = X + 2Y $
$ 1 = 2Y $X + 1 = X + 2Y $ Y = \frac{1}{2} $Rightarrow - $ 2Y + 12 = 13 $
$ 2Y = 1 $1 = 2Y $ Y = \frac{1}{2} $Rightarrow
Já encontramos $ Y = \frac{1}{2} $. Agora, vamos encontrar $ X $:
- $ 2X + 3 = 9 $
$ 2X = 6 $Y = 12 $ X = 3 $2Y + 12 = 13
Resposta
A soma dos valores de $ X $ e $ Y $ é:
Alternativa B. $ \frac{7}{2} $